斜め衝突をＸＹ軸に分解せずに解く方法

質問

斜め衝突をＸＹ軸に分解せずに解く方法を教えてください。

衝突前V=(Vx,Vy) 衝突後Ｖ'=(Vx',Vy') 跳ね返り係数をeとして考えたとき、どうすればよいのでしょうか？※ぶつかるのは、なめらかな壁です。

回答No.1

Quarks

どのような回答を望んでいるのかわかりませんが、壁に垂直な方向の運動と、壁に平行な方向の運動とは、全然種類の異なる運動※で、更に、両者間には関連が有りません。
つまり、２つの方向の運動は、どんな解法を採用するにせよ、別々に調べるしかなく、その解き方が、最も自然な解法なのです。

※壁に垂直な方向の運動は、壁と小球との、「不完全弾性衝突運動」、壁に平行な方向の運動は、力を全く受けない、「等速直線運動」です。
それぞれの運動は、良く研究されていますから、先人の示してくれる筋道に沿って考えれば簡単に解けてしまいます。
そして、実際の小球の運動は、これら２種類の運動を「合成」したものとなります。

小球の速度は、ベクトルで表現できます。衝突前のベクトルＶと衝突後のベクトルＶ'です。この、速度ベクトルの変化　Ｖ'－Ｖ　は、壁に垂直な方向に押し返されるように受けた力積ベクトルＰに依存しています。
小球の質量をｍとすれば
壁から受ける力積は、壁に垂直で壁が押し返すような方向のベクトルで、その大きさは
　Ｐ＝ｍ・(ｅ＋1)・(|Ｖ|・cosθ)
ここで、θは、Ｖが壁の法線とのなす角度です。このベクトルＰを使うと、衝突現象を表す方程式として
　ｍ(Ｖ'－Ｖ)＝Ｐ
というベクトルの関係式が成り立ちます。ＶとＰがわかれば、Ｖ'は自然に求まります。これなら一見すると、２つの方向の運動に分解しないで解いていることになりそう…。
でも、各ベクトルの各成分に注目してみると、
　ｍ(Ｖ'x－Ｖx)＝Ｐx＝０
　ｍ(Ｖ'y－Ｖy)＝Ｐy＝－ｍ・(１＋ｅ)・(|Ｖ|・cosθ)＝－ｍ・(１＋ｅ)・Ｖy
となっており、それぞれは
　Ｖ'x＝Ｖx
　Ｖ'y＝－ｅ・Ｖy
これは、実質的に２つの方向の運動に分解して考えているのです。