完全弾性衝突について

質問

2次元の弾性衝突において2つの粒子の質量が等しい場合には、衝突後の速度ベクトルはたがいに直行することを示せ。
以下の解答で間違いをご指摘ください。

衝突前の速度ベクトルを v1,v2 衝突後の速度ベクトルをv1' v2'とすると運動量保存則より、
v1+v2=v1'+v2' ・・・(1)
反発係数の関係から
v1-v2=-v1'+v2'
この2式から v1'=v2 v2'=v1 ・・・※

力学的エネルギー保存則から
v1^2+v2^2=v1'^2+v2'^2　・・・(2)
(1)を2乗して(2)に代入すると
v1v2=v1'v2'
※より、cosθ1=cosθ2
よって、sin{(θ1+θ2)/2}sin{(θ1-θ2)/2}=0 まで考えたのですが θ2=π/2 とどうしても出ません。
どこが間違っていますでしょうか？

回答No.4

yokkun831 · ベストアンサー

>衝突前にどちらも速度を持っている時を考えないと、2次元の弾性衝突全般のことを言えないのではないのでしょうか？

２次元一般の場合に衝突後の速度が直交するといえないことは，ただちに証明できます。仮に直交する場合を考えるとき，その衝突を速度を持つ座標系で観測すると明らかに直交しなくなるからです。

つまり，衝突後の速度が直交するというのは衝突前に一方が静止している座標系でのみ観測される現象なのです。題意の読み取りが浅いか，もしくは問題の不備としかいいようがありません。

お礼

なるほど。
分かりやすい解説ありがとうございました。

回答No.6

htms42

＃３
＞衝突後の一方が静止するので直交とは言いがたい気もします

一次元衝突の場合と混同しておられますね。
二次元衝突では剛体球の大きさを考慮します。
回転などの運動は考えていませんが中心線のずれ（１の重心の進行方向からの２の重心のずれ）の可能性は考えるのです。そのずれの大きさによって衝突後の運動の方向が変わります。１が進行方向の右に方向を変えて進んでいれば２は進行方向の左の方向に跳ね飛ばされています。
この問題でこのような２次元の衝突が起こることを前提にして
「衝突後の運動における剛体球の運動の方向は直交していることを示せ」
というものです。
ずれの大きさによって飛び出す方向は変化するにもかかわらず互いに直交する方向に飛び出すという関係は成立しているのです。

求め方は＃２にある通りです。

お礼

なるほど。
補足説明ありがとうございました。

回答No.5

JOUNIN

No1です

一般的な二次元弾性衝突について、衝突後の速度が直交しないことはNo4様がおっしゃっている通りです
一方が静止している際に衝突後の速度ベクトルは直交(一方は零ベクトルですが)するとは言えます
ですがこれは同質量の物体の完全弾性衝突という特殊な条件があるため成り立ちます
したがって確かに結論は内積0ですが、重要なのはあくまで運動量保存則とエネルギー保存則を連立した結果速度交換することであり、決して結論の方が大切なわけではありませんので、導出の過程を大切にしてください

お礼

解説ありがとうございます。
結果だけに目が行ってしまったようです。
中身の理解を深めることに努めます。

回答No.3

JOUNIN

No1です

2物体のうちどちらか一方が静止している実験室系ですか
たしかにその場合衝突後の速度ベクトルの内積は0となりますが、衝突後の一方が静止するので直交とは言いがたい気もします
以下に一応証明してみます

v1→=(vx,vy),v2→(0,0)とし、衝突後をv1'→,v2'→とすれば
同質量の物体の完全弾性衝突であるから
v1'→=v2→=(0,0)
v2'→=v1→=(vx,vy)
∴v1'→・v2'→=(0,0)・(vx,vy)=(0,0)

ですがやはりv1'→=0→ですので直交というのは、うーんという感じもします

お礼

返答ありがとうございます。
>v1'→=0→ですので直交というのは、うーんという感じもします
なるほど・・・　

未だ明確な答えが分かりませんね・・・

回答No.2

yokkun831

>反発係数の関係から
>v1-v2=-v1'+v2'

これが決定的な誤りです。また，題意はv2=0だと思われますが，条件から抜け落ちています。
２次元衝突において反発係数は，衝突面に対して垂直な方向の相対速度成分の比になります。したがって，ご紹介のように１次元衝突の式をベクトル式に拡張するようなことはできません。

また，反発係数=1はエネルギー保存と同等ですから，両方を使うのは明らかに冗長です。

（１）と（２）だけで事足りるのです。

v1 = v1' + v2' ・・・　(1)
v1^2 = v1'^2 + v2'^2 ・・・(2)

(1)の２乗をとって(2)を引きます。

0 = 2 v1'・v2'

内積（スカラー積）がゼロですから

v1' ⊥ v2'

です。

補足

返答ありがとうございます。
>題意はv2=0
これは「2次元の弾性衝突」の部分からでしょうか？
だとしたらなぜv2=0 という限定的な場合で考えてもよいのでしょうか？
衝突前にどちらも速度を持っている時を考えないと、2次元の弾性衝突全般のことを言えないのではないのでしょうか？

回答No.1

JOUNIN

完全弾性衝突であれば運動量保存則と反発係数の式を連立するか、
運動量保存則と力学的エネルギー保存則を連立するかですが、
なぜ運動量保存則、反発係数の式、力学的エネルギー保存則の3つを連立しているのですか？
この場合で言えば、反発係数の式か力学的エネルギー保存則のどちらかはいりませんよ

それを踏まえた上で
「2次元の弾性衝突において2つの粒子の質量が等しい場合には、衝突後の速度ベクトルはたがいに直行する」
とは必ずしも言えないということを反例を上げて示します

v1→=(v,0),v2→=(V,0)(v>V>0)の同質量の物体が衝突することを考えますと、
同質量の物体の完全弾性衝突は速度交換をしますので、衝突後の速度をv1'→,v2'→とすれば
v1'→=v2→=(V,0)
v2'→=v1→=(v,0)
となり、衝突後の速度ベクトルは平行となりますので、直角とはなりません

補足

返答感謝します。

>この場合で言えば、反発係数の式か力学的エネルギー保存則のどちらかはいりませんよ
そうなのですか・・・
この問はごく普通に出版されている力学の本の問題なのですが、ネットで色々調べているとこの問いが示すことができるのは衝突前にどちらかが静止している実験室系のときのみではないかと思っていました。

それを示せば正解になりますか？