偏微分方程式の型と解の性質の関係

質問

偏微分方程式の型を２次曲線の種類に従って大きく放物型, 双曲型, 楕円型などと分類し, 偏微分方程式の解の性質が, その方程式の型のいかんによって大きく左右されることはよく知られていますが, ２次曲線の分類と偏微分方程式の解の性質が結びつく理由は何でしょうか ? 必然的な理由があるのでしょうか ?

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

実数x,yの実関数であるu(x,y)に関する、２階準線形偏微分方程式、つまり
u,ux,uy,x,yの実関数であるα,β,γ,δがあって、
α uxx + β uxy + γ uyy + δ = 0　(uxxはuのxによる二階偏微分。他も同様）
である場合の分類ですね。

x y 平面上のある曲線Cについて、Cの接線方向に沿った全微分を考えるんです。dy/dxをCの接線の傾きとしますと、
d(ux)=(uxx)dx+(uxy)dy
d(uy)=(uyx)dx+(uyy)dy
がいつも満たされているんで、これを使って
(α/dx)(d(ux)-(uxy)dy)+ β uxy + (γ /dy)(d(uy)-(uxy) dx)+ δ = 0
より、
(uxy)(α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ) = α(d(ux)/dx)(dy/dx)+γ(d(uy)/dx)+δ(dy/dx)
を得る。

そこで左辺の
α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ
がいつも0になるようにCを選べば、
α(d(ux)/dx)(dy/dx)+γ(d(uy)/dx)+δ(dy/dx)=0
となって、全微分方程式に帰着でき、アトはまじめにやれば何とかなりそうな感じである。
そういう、丁度都合の良いCはどうやって見つければよいでしょうか。
このために、
α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ=0
を満たす曲線Cが点(x,y)でどっちを向いているかと考えるんです。（これを「特性方向」と呼びます。）
(dy/dx)=(β±√(β^2-4αγ))/(2α)
がその方向である。

●根号の中が正（双曲型）なら、dy/dx=f,gという二つの方向がある。そのうちの一方（たとえばf）を選んで、各点でのdy/dx=f(x,y)の方向を繋いで作った曲線C、これが特性曲線です。つまりC上では常にdy/dx=fである。逆にいえば、全ての点を、このような特性曲線が二つ（特性方向に沿って）通っていて、丁度、平面を網目で覆っている感じになってる。
しかし、根号の中が0（放物型）なら特性方向は一つですし、負（楕円型）だとそういう都合の良い方向はない。そんなわけで、アプローチが違ってくる。

というのが、「双曲型・放物型・楕円型」の分類のひとつの意味かと思います。

お礼

ご回答頂きましてありがとうございます. また返事が大変遅くなり申し訳ありません. ご回答を検討させて頂きます. 双曲型方程式は特性曲線に注目して解の性質が導かれることはよく知られていますが, 放物型方程式の平滑化作用なども２次曲線の分類に従って説明出来るのか ? という当初の疑問でした.

回答No.1

KENZOU

ここをご覧になられてはいかがでしょうか。
　　　　↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=722102
あまり参考にならなければすみません。

補足

早速, ご回答頂きましてありがとうございました.
質問の仕方が悪かったようです. 私が知りたいのは偏微分方程式の型を２次曲線によって分類したら, なぜ方程式の性質もそれに応じて分類できるのか ? たまたまなのか ? を知りたいということです.