漸化式を教えて下さい。

質問

数列を勉強しているのですが、漸化式がよくわかりません。
どこがわからないのかはっきりしませんが、説明が書いてある頭の部分からわかりません。

階差数列とかでてくるのですが、？です。

詳しい方教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

え～と、まず用語の定義から。数学にはこういう面倒臭さがありますが、でもほんのちょっとですから・・・(^^；)。

　a(n)は数列自体ではなく、数列のn項目と呼ばれます。数列とは例えば、

　　{a(n)}＝{1，2，3，4，5，6，・・・}　　　(1)

みたいな奴です。上記は「こういう風に表しますよ」というだけの話です。今の教科書の表記は知りませんが、たぶん同じだと思ってます。{　}は、数値が一つじゃなくて、数値の集まりだよという意味で、右辺を見れば「列になってる」ので、数列です(^^)。

　(1)のa(n)は、番号nに関する関数だと思ったってかまいません。関数a(n)を(1)のように表した、というだけです。(n)の部分は、教科書では、下付き添字のnになってるとは思いますが。

　なんでこんな事をするかと言うと、数列{a(n)}の1項目はa(1)＝1，2項目はa(2)＝2，3項目はa(3)＝3，・・・、な～んてやってたら、効率悪いじゃないですか(^^)。

　じゃあすっきりと、

　　a(n)＝n　　　(2)

で良いんじゃないの？。・・・その通りなんですが(^^；)、それを導くのが「数列の問題」なんですよ。問題だから、しょうがない(^^；)。

　(1)は明らかにa(n)＝nに見えますが、右辺の6の後の「，・・・」の中において、6より3つ先の9項目で、a(9)＝100だったというような（衝撃の？）事実が隠れてるかも知れない(^^)。それで漸化式を使うんです。

　(1)がa(n)＝nと思えるのは、2項目は1項目より1多く（2－1＝1），3項目は2項目より1多く（3－2＝1），4項目は3項目より1多く（4－3＝1），・・・、とわかるからですよね？。だったら、そう書けばいいじゃないのとなります。a(n＋1)はa(n)より1多い、と。

　　a(n＋1)－a(n)＝1　　　(3)

と・・・(^^)。

　(3)のように表せば、a(9)＝100なんかが「，・・・」の中に隠れてるはずはない、と。でも「本当か？」となります。それは証明する必要があります（数学ですからね(^^；)）。それで「(3)から(2)を導いて下さい」が、普通のタイプの数列の問題になります。まさに#2さんの例題です(^^)。

　階差数列については、もっと複雑な規則性を持った(1)から(3)を推測するテクニックとして、最初は出て来ると思います。その辺りは、教科書を良く呼んで下さいね(^^)。

お礼

詳しく説明して下さり、ありがとうございます。

「．．．」の中に、急に１００が入ってこないか確認するために漸化式という方法があるという事ですね。

もう一度、教科書を読んでみます。

ありがとうございました。

回答No.2

spring135

#1です。

＞数列を勉強しているのですが

もっとも簡単な数列は等差数列です。等差数列は一般に

a(n)=a(1)+(n-1)d　　　(1)

という形にかけてa(1)を初項、dを公差、a(n)を一般項といい、n番目の項を示します。

(1)が

a(n)-a(n-1)=d (2)

と書けることがわかりますか。わかるまで実際の数字を使って確かめてください。

(2)を漸化式、または数列の漸化式表現といいます。

もっと一般に

a(n)-5a(n-1)+6a(n-2)=n^2

などという式も考えられます。すべて漸化式です。

ここで問題

(2)から(1)を導いてください。

お礼

回答ありがとうございます。

(２)から(１)を導けませんでした。

回答No.1

spring135

解きたい問題を示してください。

一般論は教科書を見てください。

お礼

すみません。一般論なのですが、漸化式って何なのでしょうか？

教科書みても、よくわからないのですが…。

問題を提示した方が回答しやすいようなら漸化式の問題を提示します。