漸化式

質問

漸化式っていったいどうゆうものなんですか？
数検の勉強をしているのですが、
全くこの分野がわかりません。
例を交えながら説明お願いします。

回答No.2

info22

数列{an}において
一般項の隣接二項a_(n+1)とa_nの間に
a_(n+1)=f(a_n)…(A)
なる関数関係が成り立つとき(A)を隣接二項間漸化式といいます。

また、一般項の隣接する三項a_(n+2),a_(n+1),a_nの間に
a_(n+2)=f(a_(n+1),a_n)…(B)
なる関数関係が成り立つとき(B)を隣接三項間漸化式といいます。

詳細は参考URLをみて勉強してください。
漸化式について
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97#.E6.BC.B8.E5.8C.96.E5.BC.8F
漸化式の例題と解法
http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/zk10.htm
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/zenka3/zenka3.htm
http://ufcpp.net/study/hs/sequence.html
http://www.nikonet.or.jp/spring/bsec2/bsec2.htm

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97#.E6.BC.B8.E5.8C.96.E5.BC.8F

回答No.1

proto

漸化式とはn番目までの値がわかっていれば、n+1番目の値もわかるような式です。
順々に計算していくことで大きなnについての値もわかることになります。

例えば
A君は一つ年をとるごとにお小遣いの額を1000円増やしてもらえます。
このとき、n歳のときのお小遣いをA[n]円とすると、
一つ年を取ってn+1歳のときのお小遣いは
　　A[n+1] = A[n]+1000
と書けます。この式が漸化式です。

10歳のときのお小遣いが3000円だったとすると、
11歳の時は
　　A[11] = A[10]+1000 = 3000+1000 = 4000
となるので4000円
12歳のときは
　　A[12] = A[11]+1000 = 4000+1000 = 5000
となるので5000円
というように前の年のお小遣いの額が分かれば今年の額がわかります。

B君は毎年お小遣いの額が倍になる(凄い)とすれば
　　B[n+1] = 2*B[n]
C君は前年と前々年の額を足した額もらえるとすれば
　　C[n+1] = C[n] + C[n-1]
となります。

このような漸化式の特徴ははA[0]やA[1]がわからなければA[n]もわからないってことですね。
たとえばC君やB君が12歳の時のお小遣いの額は？と突然聞かれても前年や前々年やもっと前の額がわかっていないので答えようがありません。
しかしそれがわかれば12歳のときだろうと13歳の時だろうと18歳の時だろうと順々に計算していくことで知ることが出来ます。

また数学的なテクニックを使えば順々に計算していくのではなくて、n歳の時の額をnの式で表すことも出来き、これを『漸化式を解く』といいます。
たとえばA君がn歳の時のお小遣いの額は
　　A[n] = 1000*n - 7000
となります。
B君、C君の漸化式も解くことが出来ます。

お礼

ご説明ありがとうございます。
とても、よくわかりました。
これが高校数学で出るようなものだとどうやって解くのか。
これも教えてくれるとありがたいです。