任意の点が接近する確率

質問

東西1000ｍの壁をはさんで、北側に赤杭を4本、南側に青杭を14本、ランダムに打つとします。この場合、東西距離が10ｍ以内となる赤杭と青杭の組が何組できるかは、どのようにして求めればよいでしょう。

たとえば、赤杭の東西に10ｍづつ許容範囲を設けると、許容範囲の延長は80ｍ。この状態で、1本の青杭が許容範囲に入る確率は、80÷1000=0.08。
0.08を成功率とすれば、二項分布で成功回数と確率は求められます。しかし、赤杭の許容範囲が重なる可能性をどのように評価すればよいでしょうか。
また、青杭を基準にするとどうなるでしょうか。

よろしくご教示下さい。

回答No.3

MagicianKuma · ベストアンサー

>0.02*0.98+0.01*0.01*2/3=0.0199　の意味が今ひとつ飲み込めません。
式の後半がまちがえてたねぇ。ごめんなさい。正しくは0.02*0.98+0.01*0.01*3=0.0199
xを固定して考えると、x-0.01≦y≦x+0.01のとき成立します。x-0.01が負にならない、x+0.01が1を超えない範囲だとyの取りうる幅は固定値のx+0.01-(x-0.01)=0.02
なので、この範囲での確率が0.02*0.98です。x<0.01の範囲だと、0≦y≦x+0.01となるので、
∫(x+0.01)dxの積分で計算できます。0.99<xの部分も同じですから、(0.01*0.01/2+0.01*0.01)*2

ようはf(x)=1,f(y)=1 (x,y範囲外ではf(x)=0,f(y)=0)として次の積分をxの範囲を[0,0.01],[0.01,0.99],[0.99,1]の部分に分けて計算すれば良い。∫[0,1]f(x)dx ∫[x-0.01,x+0.01]f(y)dy

やはり、正確には、56組のうちでk組成功する（成功確率0.0199）の二項分布とはなりません(独立にならないため)。が、シミュレーションの結果は非常に近い結果をとなります。
赤杭と青杭が１対Nなら、N組のうちのk組成功する二項分布で間違ってませんが、多対多になると理論式は難しいです。
１：４と２：２をシミュレーションで比較してみましたが違いがあるようなないような結果です。

1：4の結果 (100万回のシミュレーション結果)
k=0: 0.922900
k=1: 0.074730
k=2: 0.002335
k=3: 0.000030
k=4: 0.000002

2：2の結果 (100万回のシミュレーション結果)
k=0: 0.922525
k=1: 0.075144
k=2: 0.002312
k=3: 0.000012
k=4: 0.000007

4組からk組成功する二項分布の理論値
k=0: 0.922745
k=1: 0.074942
k=2: 0.002282
k=3: 0.000031
k=4: 0.000000

お礼

丁寧に説明していただきましてありがとうございます。
両端を考慮しないといけないので、0.02*0.98+0.01*0.01*3=0.0199　になるということですね。

>赤杭と青杭が１対Nなら、N組のうちのk組成功する二項分布で間違ってませんが、
>多対多になると理論式は難しいです。

可能な56組はすべて独立とする（赤m本と青n本が合致した場合の合致数はn×m）という条件であれば、成功確率=0.0199の二項分布でよいでしょうか。現実の問題としては、赤はR1～R4、青はB1～B14の区別があるのですが。

回答No.2

MagicianKuma

No1です。
＞56組のうちでk組成功する（成功確率0.0199）の二項分布と考えれば良い。
独立でない気もするのでいったん取り消し。もう少し考えます。

回答No.1

MagicianKuma

問題をもう少しすっきりしてみましょう。南北は関係ないようなので、一次元で考えてみます。東西1000mの壁を、X座標0から1に対応づけます。そして、
赤杭をランダムに打つを、座標値xを0～1の一様の確率で選ぶことに対応づけます。同様に
青杭をランダムに打つを、座標値yを0～1の一様の確率で選ぶことに対応づけます。
いま赤杭1本、青杭1本を独立に上記分布から抽出したとすると、問題の組になるのは、|x-y|≦0.01となること。この確率を求めると、0.02*0.98+0.01*0.01*2/3=0.0199となる。
で、赤杭4本、青杭14本だと、組み合わせの可能性は4*14 =56なので、条件を満たす組がk組できる確率は、56組のうちでk組成功する（成功確率0.0199）の二項分布と考えれば良い。

お礼

ご教示ありがとうございます。
整理していただいたおかげで、考え方がすっきりしました。
ただ、0.02*0.98+0.01*0.01*2/3=0.0199　の意味が今ひとつ飲み込めません。
なぜ、この形になるのかお教えいただけるとありがたいです。