ヘロンの公式は余弦定理から導かれますか

質問

余弦定理はピタゴラスの定理を使って証明されるものと聞きましたが、ヘロンの公式は余弦定理を使って証明できるものでしょうか。

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

余興の尻ぬぐいですが…。

>これを (1) か (2) へ代入して、h^2 が (したがって h も) 求まる。
>h がわかるので、△ABC の面積 = ah/2 を勘定可能になった。

たとえば、
　h^2 = c^2 - d^2
を使って h を勘定してしまえば、△ABC の面積は求められるはず。

ヘロン氏は h^2 を「因数分解」してみせた、というわけでしょうネ。
　　　　　　　　　　　　　　↓
　h^2 = c^2 - d^2
　　　= { (2ac)^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2 }/(2a)^2
　　　= { 2ac + (a^2 + c^2 - b^2) }{ 2ac - (a^2 + c^2 -b^2) }/(2a)^2
　　　= { (a + c)^2 - b^2) }{ b^2 - (a - c)^2 }/(2a)^2
　　　= (a + c + b)(a + c - b)(b + a - c)(b - a + c)/(2a)^2

お礼

高校時代因数分解にさんざん悩まされた事を思い出しましたが、気を取り直してご教示を追いかけられればと思います。あらためてご厚意に感謝いたします。

回答No.5

178-tall

>…「ピタゴラスの定理」だけで導くこともできます。
>お試ししのほどを…。

「ピタゴラスの定理」　→　「ヘロンの公式」
質問の本筋からはズレますが、余興として、道筋だけでも。

(1) △ABC の各頂点の対辺を a, b, c (長さも示す) とし、頂点 A から a (またはその延長戦線) 上へ下ろした垂線長を h とする。
　　また、頂点 B から h の足までの長さを d とする。(h の足が a 上にあろうが無かろうが、かまわないみたい)

(2)「ピタゴラスの定理」により下式を誘導。
　　d^2 + h^2 = c^2
　　　　　↓
　　h^2 = c^2 - d^2　　　… (1)

　　(a-d)^2 + h^2 = b^2
　　　　　↓
　　h^2 = b^2 - (a-d)^2　　… (2)

(1) = (2) から、
　　d = (a^2 + c^2 -b^2)/(2a)

これを (1) か (2) へ代入して、h^2 が (したがって h も) 求まる。
h がわかるので、△ABC の面積 = ah/2 を勘定可能になった。

(3) (2) で得た h に「整形 (因数分解) 」を施せば、教科書などに見られる「ヘロンの公式」の容貌となる。

お礼

そうですか。何とか自分でもやってみたいと思います。実際ヘロンさんもピタゴラスさんの定理を聞いて公式を得たのでしょうか。私には余興というより学生に戻ったような気分になうと思います。

回答No.4

housyasei-usagi

ちなみに余弦定理自体がピタゴラスの定理から成り立っています。

余弦定理をピタゴラスの定理から証明せよ、って言われればそれ程難易度は高くないのですけど、
それを言われずに初めに導き出した人は素晴らしいです。

お礼

小学生でも知っている定理や公式でも、自分の力で導き出せたら、どんなにうれしいだろうかと思います。ご教示ありがとうございました。

回答No.3

housyasei-usagi

余弦定理を使ってというか、３辺の長さがわかる三角形だったら、
すべての角のcosθがわかるのが余弦定理。

これがわかれば、どれかの辺を底辺にして、他の辺の長さにsinθを掛ければ
三角形の高さがわかる。

cosθからsinθを求めるには(sinθ)^2+(cosθ)^2=1の公式を使えばよい。
従いsinθ＝√1-(cosθ)^2から高さを求めて、底辺掛ければ面積が求まる。
結局ここの√が最後まで残ってヘロンの公式は√がついているのですね。

これが大元で後はひたすら式の変形をする。

なんとか下記まで変形できますけど、ここでs=(a+b+c)/2に置き換えるなんて、
うまいこと考えるなぁと思います。

√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))÷16

お礼

初めてヘロンの公式を見たとき、やはりどうやってこういう公式を見つけたのだろうと不思議に思いました。サインコサインを知らなかったギリシャの人が、ピタゴラスの定理を使って見つけたのでしょうか。

回答No.2

178-tall

ANo.1 さんのレスにあように、証明可能。

もちろん、「ピタゴラスの定理」だけで導くこともできます。

お試ししのほどを…。

お礼

何とかやってみたいと思います。ご教示感謝いたします。

回答No.1

tatata-0000

ヘロンの公式は余弦定理を使って証明できます。
（もちろん、他の方法で証明することもできます。）

例として、「ヘロンの公式　余弦定理」で検索して一番上に出てきたページ
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~kanie/students/ryuka/top/heron.html
ネット上にいくらでも解説しているページがありますので調べてみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。勉強させていただきます。