固有値について

質問

固有値についてなんですが、2×2行列Aの固有値をλだとします。Aに対してAu→＝ku→、ｕ→≠0を満たす、実数kが存在するとき、存在する必要十分条件はΔ(AーkE)＝0であるということですが、(AーkE)をBとおくとBは逆行列を持たないってことですよね。けどここで疑問になったのは、(AーkE)u→＝0→でu→≠0とおいたので、(AーkE)が＝0を満たすでは何故ダメなのでしょうか？それとも(AーkE)＝0を満たすものがないのでしょうか？深入りしてもいいので教えて下さい。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

言う事は、#1さんと同じです（たぶん・・・(^^；)）。

　bもuも普通の実数とした時、bu＝0でu≠0なら、b＝0に決まってるじゃないか！。そんなところから、この疑問は生じたのかな？、と思いました。

　bもuも普通の実数だったとしても厳密に言うと、方程式bu＝0（かつu≠0）の意味するところは、bu＝0（かつu≠0）を満たすbを「全部求めよ」です（数学って面倒臭いですよね）。bもuも実数でbu＝0（かつu≠0）の場合、「たまたま」解bは一個しかない事が最初からわかっているので、b＝0ならbu＝0は明らかなので、b＝0に決まってるじゃないか！、となります。

　ここで「たまたま」と言うのは、bが行列Ｂだったりした場合は、それはもう普通の数ではなく、「全部求めよ」が威力を発揮するケースだからです。AーkE＝0だったら、Ａは単位行列のスカラー倍ですよね？。

　実際わかりやすい例で計算してみると、Ａは単位行列のスカラー倍でなくても、u≠0に対して(AーkE)u＝0を満たす例は、けっこう簡単に与えられる事がわかります。

　そこで「全部求めよ」の必要十分条件をさぐってみると、Δ(AーkE)＝0になったという訳です。

お礼

なるほどありがとうございます。

回答No.3

noname#178274

A-kE=0は、A=kEですけど…
Aが単位行列の実数倍のとき、u→は任意で成立し、固有方程式も固有値も固有ベクトルも存在しない、つまりAが単位行列の実数倍のとき固有方程式も固有値も固有ベクトルもないわけです。次の固有方程式にA=(k,0,0,k)を代入したら方程式になりません。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
A≠kEとして
A=(a,b)
　(c,d)とすると、
行列式(det，Δ)A-kE=0より固有方程式を得る。
(a-k)(d-k)-bc=0
⇔k^2-(a+d)k+ad-bc=0
この固有方程式と称される2次方程式を満たすkが行列Aに属する固有値と称され、Aが決定しているとそのkが求められ、そのkに対するu→=(x,y)が連立方程式を解いて決定される、これを固有ベクトルと称する。

お礼

そういうことなんですね。ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

ダメじゃないよ。
A-kE=O であってもいい。
それで十分 (A-kE)u=0, u≠0 は成り立つ。

ただ、A-kE=O でなきゃならない必要はなくて、det(A-kE)=0 でありさえすれば、
(A-kE)u=0, u≠0 となる u はある。

そこが、単なる十分性と必要十分性の差かな。
A-kE=O のときも、無論 det(A-kE)=0 ではあるし。

お礼

ありがとうございます。