行列

質問

Aが実対称行列、B,Cが正方行列とします。
A=
[
B X
X^t C
]
とし、Aの固有値は0と1だけで,
A^2=Aとします。
Bu=kuのとき、
Cv=(1-k)v
(v=X^tu、 XX^tu=k(1-k)u)
となるのはなぜですか？

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

Aが実対称行列,B,Cが正方行列
Aの固有値は0と1だけ
A=
[
B,X
X^t,C
]
↓A^2=Aだから
(B ,X)(B ,X)=( B^2+XX^t, BX+XC)=(B ,X)
(X^t,C)(X^t,C).(X^tB+CX^t,X^tX+C^2).(X^t,C)
↓
(X^t)B+C(X^t)=X^t
↓右からuをかけると
(X^t)Bu+C(X^t)u=(X^t)u
↓Bu=ku,v=(X^t)uだから
(X^t)ku+Cv=v
↓
kku+X(X^t)u=ku-kku
k(X^t)u+Cv=v
↓v=(X^t)uだから
kv+Cv=v
Cv=v-kv=(1-k)v
∴
Cv=(1-k)v

B^2+XX^t=B
↓右からuをかけると
(B^2)u+X(X^t)u=Bu
↓Bu=kuだから
Bku+X(X^t)u=ku
kBu+X(X^t)u=ku
↓Bu=kuだから
kku+X(X^t)u=ku
X(X^t)u=ku-kku=k(1-k)u
∴
X(X^t)u=k(1-k)u