漸化式と極限の問題です

質問

数列{a_n}を次のように定義する。

a_1=c (0<c<1)
(2-a_n)a_(n+1)=1

このとき、lim(n→∞)a_n=1を示せ。

一般項a_nの式すら求められません。
よろしくお願いします。

回答No.6

noname#178274

漸化式は
a(1)=c　(0<c<1)
{2-a(n)}×a(n+1)=1
ということですね。
a(2)=1/{2-a(1)}=1/(2-c)
a(3)=1/{2-a(2)}=(2-c)/(3-2c)より
a(n)を類推することができます。
a(n)={(n-1)-(n-2)c}/{n-(n-1)c}――☆
となるだろうから、一応答案としては、数学的帰納法で推測が正しいことを証明しなければなりません。
証明）
i）☆はn=1のとき成立する。
ii）漸化式が示す数列の一般項a(n)がn=kのとき☆を満たすとするとき、与えられた漸化式と☆から
a(k+1)=1/{2-a(k)}
=1/{2-[{(k-1)-(k-2)c}/{k-(k-1)c}]}
={k-(k-1)c}/[2{k-(k-1)c}
-{(k-1)-(k-2)c}]
={k-(k-1)c}/{2k+(-2k+2)c
-k+1+(k-2)c}
={k-(k-1)c}/{(k+1)-kc}
となり☆はn=k+1のときにも成立する、よって漸化式が定める数列の一般項は☆である。
そしてその極限は
lim[n→∞]a(n)
=lim[n→∞]{(n-1)-(n-2)c}/{n-(n-1)c}
ここで分子分母をnで割ると
=lim[n→∞]{(1-1/n)-(1-2/n)c}/{1-(1-1/n)c}
=(1-c)/(1-c)　(∵0<c<1)
=1
（証明終わり）

回答No.5

alice_44

あ、d≠0 は、示す必要もなかったか。

回答No.4

alice_44

極限を求めるのに、一般項は必要でもないが、
今回は漸化式が簡単だから、a[n] を求めてみよう。

漸化式は、a[n+1] = 1/(2-a[n]) と書ける。
a[n] = x[n]/y[n] と置いてみると
x[n+1]/y[n+1] = y[n]/(2y[n]-x[n]) となるから、
x[n+1] = y[n],
y[n+1] = 2y[n]-x[x] であるような x[ ], y[ ]
が見つけられれば、a[ ] も求まる。
初期条件は、x[1] = c, y[1] = 1 でいい。

連立漸化式から x[ ] を消去すると
y[n+1]-y[n] = y[n]-y[n-1] と変形できるから、
y[ ] は、等差数列と判る。公差を d と置くと、
y[n] = 1+d(n-1).
これを使って、
x[n] = 1+d(n-2),
a[n] = (1+d(n-2))/(1+d(n-1)) と解ける。

x[1] = 1-d = c と 0 ＜ c ＜ 1 より、d ≠ 0.
よって、lim[n→∞] a[n] = 1.

回答No.3

spring135

(2-a(n))a(n+1)=1　　　　(1)

極限値aが存在するとすれば

(2-a)a=1

この解は

a=1(重解)

重解でなければ定石があるが個々ではそれは使えない。

(1) より

a(n+1)=1/(2-a(n))

両辺からa=1を引く

a(n+1)-1=1/(2-a(n))-1=(a(n)-1)/(2-a(n))

b(n)=a(n)-1とおくと上式は

b(n+1)=b(n)/(1-b(n))=1/(1/b(n)-1

1/b(n+1)=1/b(n)-1

c(n)=1/b(n)とおくと

c(n+1)=c(n)-1

c(n)=c(n-1)-1=c(n-2)-2=…=c(1)-(n-1)

c(1)=1/b(1)=1/(a(1)-1)=1/(c-1)

よって

c(n)=1/(c-1)-(n-1)

b(n)=1/c(n)=1/[1/(c-1)-(n-1)]

a(n)=b(n)+1=1+1/[1/(c-1)-(n-1)]

lim(n→∞)a(n)=1

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

単調増加かどうか示してなかった。

(2-a_n)a_(n+1)=(2-a_(n-1))a_n=1
a_(n+1)/a_n=(2-a_(n-1))/(2-a_n)

a_2/a_1=1/(2-c)c={1/c+1/(2-c)}/2>1
∴a_2>a_1

n=2のとき、
(2-a_1)/(2-a_2)=(2-c)/(2-1/(2-c))=(2-c)^2/(3-2c)=(c^2-4c+4)/(3-2c)=-c/2＋5/4+1/4(3-2c)>1
従ってa_3/a_2>1・・・a_3>a_2>a_1

a_n>a(n-1)ならば、分母のほうが小さくなるから
(2-a_(n-1))/(2-a_n)>1
a_(n+1)>a_nが成り立つ。

従って、単調増加列になる。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

数学的帰納法により、0<a_n<1とおく。
a_1のとき正しい。
a_nで正しいとする。
a_(n+1)のとき、
a_(n+1)=1/(2-a_n)
1<2-a_n<2
逆数を取ると
1>1/(2-a_n)>1/2>0
となり正しい。
従って、一般的なnに対してa_n<1である。

lim(n→∞)a_n=Aとおくと、
十分大きなnでは
(2-A)A=1 → A^2-2A+1=(A-1)^2=0 ∴A=1