漸か式と極限の問題

質問

次の漸か式をみたす数列A(ｎ)を考える。
A(n)＝A(ｎ+2)+(1/3)^ｎ　ｎ＝1,2,3、・・・　()の中身は何項目かを表してます

ここでｌｉｍ(ｎ→∞)Ａ(ｎ)＝0であるとする。
このとき次の式が成り立つ

Ａ(ｎ)＝□
Σ(ｎ＝1から∞)Ａ(ｎ)＝□

という問題なのですが、解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

少し技巧的ですが、漸化式の典型的解法なので紹介します。

両辺にA_{n+1}を加えて少し変形すると、
A_{n+2}+A_{n+1}-1/(2・3^n)=A_{n+1}+A_n-1/(2・3^{n-1})
となります。簡単な計算で確かめられると思います。同様に考えて、
A_{n+2}-A_{n+1}+1/(4・3^n)=-(A_{n+1}-A_n+1/(4・3^{n-1}))
と変形できることもわかります。したがって
数列{A_{n+1}+A_n-1/(2・3^{n-1})}と数列{A_{n+1}-A_n+1/(4・3^{n-1})}は
簡単な等比数列になっていることがわかります。
すなわち
A_{n+1}+A_n-1/(2・3^{n-1})=A_2+A_1-1/2
A_{n+1}-A_n+1/(4・3^{n-1})=(-1)^{n-1}(A_2-A_1+1/4)
となります。A_n→0であるから、
A_2+A_1-1/2=A_2-A_1+1/4=0です。
これを解けばA_1=3/8、A_2=1/8がわかります。
あとは最初に作った二項間漸化式で
A_{n+1}-A_n+1/(4・3^{n-1})=0
であるから、
A_{n+1}=A_n+1/(4・3^{n-1})
です。階差型の漸化式なので、A_nは簡単に求まります。

なお一番最初の式変形を思いつくのはやや困難です。
もうひとつ典型的な解法として、♯1さんのように
偶数番目と奇数番目の一般項を先に求めるという方法もあります。
これは3項間漸化式でa_{n+1}の項がない場合に対して
常に有効な方法になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞A_{n+2}+A_{n+1}-1/(2・3^n)=A_{n+1}+A_n-1/(2・3^{n-1})
＞A_{n+2}-A_{n+1}+1/(4・3^n)=-(A_{n+1}-A_n+1/(4・3^{n-1}))

の二式を考えて、とくのですかー。
Aのｎ+1項を付け足すのは考えたんですが、定数こうのところをどうやろうかよくわかんなくなっちゃって入試ではできなかったのです。

参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.4

keyguy

「線形差分方程式」は「定数係数線形差分方程式」の間違いです

D・f(n)≡f(n)-f(n-1)と定義すると
D・g(n)=h(n)⇔g(n)=g(0)+Σ(1≦k≦n)・h(n)
x(n)-α・x(n-1)≡α^(n)・D・α^(-n)・x(n)
x(n)-(α+β)・x(n-1)+α・β・x(n-2)≡
α^(n)・D・α^(-n)・β^(n)・D・β^(-n)・x(n)

従って

A(n+2)-A(n)=(1/3)^n　⇔
1^n・D・1^(-n)・(-1)^n・D・(-1)^(-n)・A(n+2)=(1/3)^n　⇔
D・(-1)^n・D・(-1)^n・A(n+2)=(1/3)^n

この方法で定数係数線形差分方程式はすべて解ける

お礼

ご回答ありがとうございます。
定数係数線形差分方程式というのですかー。
ムズかしーですね～。
さんこうにさせていただきます。
ありがとうございました。

回答No.3

keyguy

システマチック解法

問題：
A(n+2)-A(n)=(1/3)^nを解け

ヒント：
D・f(n)=f(n)-f(n-1)と定義すると
D・g(n)=h(n)⇔g(n)=g(0)+Σ(1≦k≦n)・h(n)…(*)
また
x(n)-λ・x(n-1)≡λ^(n)・D・λ^(-n)・x(n)

ところで与式は
1^n・D・1^(-n)・(-1)^n・D・(-1)^(-n)・A(n)=(1/3)^n
すなわち
D・(-1)^n・D・(-1)^n・A(n)=(1/3)^n

あとは(*)を使って皮を剥いていくだけ
この方法で線形差分方程式はすべて解ける

回答No.1

kony0

A(n)=(9/8)*(1/3)^n
じゃないですか？

ヒントは奇数項と偶数項それぞれについて考える。
A(2k-1)=Σ(i≧k)(1/3)^(2k-1)
のはず。

初項与えられていない・・・と戸惑いましたが、∞のかなたから漸化式で戻ってくるのですね。でも細かい扱いとかちょっと自信無し。

お礼

ご回答ありがとうございます。
答えはわからないんですが、偶数工と奇数こうにわけるのですか～。
参考にさせていただきます。