ベクトルの問題

質問

定点A(0,0,2),B(1,2,1)とxy平面上に動点Pがある。このとき、AP+PBの最小値を求めよ。

これをとく際、Ｂの対称の点をかんがえると解説には、かいていますが、
なぜそんことをする必要があるんでしょうか。。
そして、最小はＡ Ｐ Ｂ´（Ｂを対称にとった点）が一直線上にあるときとかいていますが
その理由もよくわかりません

回答No.2

moguraduka · ベストアンサー

連投すいません、なぜAB`Pは一直線かについても質問文で説明を求められていましたね。

B`をおく理由は前回回答の通りです。xy平面上にAB`上にない点Q（Q≠P）を定義し、三角形QAB`について考えます。

一般に、三角形について
ある二辺の長さの和＞残りの一辺の長さ

が成り立ちます。（このことはたぶん高校でならいます）よって、
QA+QB`>AB`・・・**

**右辺について、PはAB`上にありますから**より
QA+QB`>AB`=AP+PB`・・・***

***が示すところがつまり、APB`の三点は一直線上にあるということです。
なぜならAB` 上にPを置かなければ、三角形の性質よりAP+PB`の値は最小とならないためです。

連投すいませんでした。

回答No.1

moguraduka

質問文のBの対称な点B`というのは、点Bについてxy平面からみて対称でいいですよね？

B`を定義すると、動点Pがxy平面のどこにあっても

BP=B`P ・・・＊

上記の＊が成り立ちます。これはPがxy平面上にあり、BとB`はxy平面について面対称だから自明です。
図にすると、三角形BPB`はBP=BP`なる二等辺三角形であることが直感的にわかると思います。

＊より、AP+BPが最小となる点Pの座標を与えることは、AP+B`Pを最小とすることと同値です。
もうなんとなくわかってると思いますが、B`は点Aからみてxy平面の裏側にあるわけですから、APB`が一直線にするPの座標がが求めるべきPの座標です。

この問題でB`を定義するのは、結局
求めるP点はxy平面上にあり、なおかつベクトルAB`の実数倍で表せるられる
と点Pを簡単に表現できるためです。計算もかなり楽です。