tan36°の、以下による算出方法

質問

tan36°の、以下による算出方法を教えてください。

sin36°＝ {√(10-2√5)}/4
cos36°＝ (√5+1)/4
を用いて、

tan36°＝ sin36°/cos36°
　　　　　＝ √(5-2√5)
を算出する方法です。

分母分子を4倍した後、分母の有理化をするのだろうと思いますが、
二重根号を含む数の演算がわかりません。
中学3年の平方根の計算を、完全に理解しきれていないのかもしれません。

余談ですが
現在学習中のテキストは「13th-note」というWEBテキストです。
今回行き詰まっている該当ページは、ちょうど以下リンク先の、

＞ tan36°・・・＝ （計算省略）＝ √(5-2√5)　

の所です。
この「省略」されている部分を知りたいのです。
宜しくお願いします。

http://ja.ftext.org/36%C2%B0,72%C2%B0%E3%81%AA%E3%81%A9%E3%81%AE%E4%B8%89%E8%A7%92%E6%AF%94

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

a ≧ 0 のとき a = √(a^2).

お礼

ヒントを授かりましてありがとうございます。

‥ですがまだ理解できません。
分母分子に（1-√5）を掛けようとは思うのですが、
その後、分子の(1-√5)・{√(10-2√5)}の計算方法が
わからないのです。

もしかして、分母分子に（1-√5）を掛けるこの方法は、
間違っているのでしょうか？

補足

【2013/03/14　午前 03:55 追記補足】
この欄で補足するのは適切ではないと思いますが、
現在の質問者の理解度をご報告したく思います。

Tacosan様のご回答No.2を頂いた後、
頂戴したヒントから、おかげさまで
以下までは変形できました。

分母分子に(√5 - 1)を掛けた後、

＝　〔　{√(10 - √20 )}　(√5 - 1) 〕 /4

＝ 〔　{√(10 - √20 )}　{√(√5 - 1) ^2} 〕　/4

＝　〔 √ { (10 - 2√5 ) (5 - 2√5 ＋ 1) }　〕 /　√16

＝　〔 √{ 80 - 32√5 }　〕　/　√16

　　まで変形させる事が出来ました。
とりあえず引き続きこれを解いていきます。
ですが、今度は小学生レベル？　の計算方法に不安な箇所が
見いだされました。約分の可否が不安です。

この続きを
＝　 √ 〔 ( 80 / 16) - { (32√5 )　/ 16　} 〕

＝　√　(　5 　-　2√5 　)

としてよろしいのでしょうか。

回答No.3

Tacosan

それで OK です.

お礼

たびたびの補足で済みません。

分母の有利化の際に (1 - √5 )　を掛けても、
手間は掛かるけれど大丈夫なのですね。

分母「-4」の負の符号を全体の前に出し、
その後、負の符号を「-1・」に変形させて
分子の (1 - √5 ) に掛け合わせれば、
分子の(1 - √5 )は( √5 - 1) に変わり、
結局分母の有利化の際に(1 - √5 )でなく
( √5 - 1)を掛けた場合と
同じ形に変形できる、
ということを理解出来ました。

このたびは本当にありがとうございました。

補足

確かに 1-√5 で有理化してしまっては、
直後から全体が負の数になってしまうだけでなく、
1-√5 ＜ 0 なので
double根号の数とsingle根号の数の積を計算する際に、
後者を前者の形に変形出来なくなるんですね。

昨晩はこちらのサイトに来る前に30分以上WEB検索しても
HITするものがなく、途方に暮れて質問した次第です。

完答ではなく手短にヒントを頂く、という体裁で
手ほどきを頂戴出来た事は、
今思えば非常にありがたき事でした。当意即妙なご回答でした。
おかげさまで、自力で解ききったかのような喜びを味わえました。
心より感謝いたします。

後は余談になりますが、
夜明け前の投稿（No.1のお返事追記）で書きました箇所について
私が約分に自信が無いのは、分数計算や平方根の数の計算に
理解が浅いからです。

例えば、

　　 2√10 / (3√5) 　　　　　
＝ （2・2） / （3・1）
が誤りであり、
正しくは分母を有理化するか、あるいは

　　 2√10/(3√5) 　　　　　
＝　√40/√45
＝ √(40/45)
＝ √(8/9)
＝ (2√2)/3

のように考えるべきなのだ、とか

√a - √b が √(a - b) 　と同値でないはずなのに

　　　 √(5/2) 　－ √(1/2) 　　が、

これ以上簡単に出来ない式ではなく、

　 ＝ (√5　－ √1 )　/ √2　　　　

なのである、とかを知ったのは、ごく最近です。

そのような現状ゆえ、夜明け前の投稿箇所を

　　〔 √{ 80 - 32√5 }　〕　/　√16

＝ 　√ { （ 80 - 32√5 ） 　　/　16　}

＝　 √ 〔 ( 80 / 16) - { (32√5 )　/ 16　} 〕

＝　√　(　5 　－　　2√5 )

　とするより、

　　〔 √{ 80 - 32√5 }　〕　/　√16

＝　 √ { ( 80 - 32√5 ) 　/ 16　 }

＝　 √ 〔 16・( 5 - 2√5 ) 　/ 16　 〕

＝　√　(　5 　-　2√5 　)

と解くほうが、今の私には合っているようです。

回答No.2

Tacosan

どっちかというと 1-√5 ではなく √5-1 を掛けた方がいいかなぁ.

√5-1 ≧ 0 に注意.

あ, あと, 例えば 3√2 = √(3^2×2) = √18 はいい?

お礼

再度のヒントを頂戴しまして、ありがとうございます。

3√2 = √18 は理解できます。

ですが、まだ疑問解決に至れません。
分母を{√(10-√20)}(√5-1)に変形させて思案しています。

そして、その前に
1-√5 を掛ける場合と、 √5-1 を掛ける場合で
有理化の結果が変わるんですね。確かに分母の符号が変わります。
思いもよらなかった発見です。　
ありがとうございます。

補足

NO.2の
ご回答へお返事さしあげた内容に、訂正がございます。

【誤】分母を{√(10-√20)}(√5-1)に変形させて思案しています。
【正】分子を{√(10-√20)}(√5-1)に変形させて思案しています。