数日考えたのですが、どうしても理解できないのでどなた教えてください。

質問

数日考えたのですが、どうしても理解できないのでどなた教えてください。

xy平面上へｚ軸方向からε度で交わる直線との交点をＣとします。
その直線上の点Ｏから伸びる鉛直線と平面との交点をＡとします。
そして、直角三角形ＡＣＯを、ＣＯを軸としてδ度回転させたときに出来る三角形をＢＣＯとします。
この時、角ＯＢＣをα度として、三角関数を使って表すと、

tanα＝tanε・cosδ

sinα＝cosδ・sinε/√1-sin^2δ・sin^2ε

cosα＝cosε/√1-sin^2δ・sin^2ε

（分母の√は式全体にかかっています）

となるという事になるらしいのですが、
tanαに関しては辺の比として計算すればその通りになる事が解かるのですが、
sinαとcosαに関してはどうもそれが通用させられません。
これはどのように方法で考えれば良いのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.3

nag0720

sinαとcosαは斜辺に対する比ですから、どうしても斜辺ＢＣの長さを計算する必要があります。

ＢＣ＝√((ＯＢ)^2＋(ＯＣ)^2)

sinα＝ＯＣ/ＢＣ
＝ＯＣ/√((ＯＢ)^2＋(ＯＣ)^2)
＝(ＯＣ/ＯＢ)/√(1＋(ＯＣ/ＯＢ)^2)
＝(ＯＣ/ＯＡ)(ＯＡ/ＯＢ)/√(1＋((ＯＣ/ＯＡ)(ＯＡ/ＯＢ))^2)
＝((ＯＣ/ＡＣ)/(ＯＡ/ＡＣ))(ＯＡ/ＯＢ)/√(1＋(((ＯＣ/ＡＣ)/(ＯＡ/ＡＣ))(ＯＡ/ＯＢ))^2)
＝(ＯＣ/ＡＣ)(ＯＡ/ＯＢ)/√((ＯＡ/ＡＣ)^2＋(ＯＣ/ＡＣ)^2・(ＯＡ/ＯＢ)^2)
＝(ＯＣ/ＡＣ)(ＯＡ/ＯＢ)/√(1-(ＯＣ/ＡＣ)^2＋(ＯＣ/ＡＣ)^2・(1-(ＡＢ/ＯＢ)^2))
＝(ＯＣ/ＡＣ)(ＯＡ/ＯＢ)/√(1-(ＯＣ/ＡＣ)^2・(ＡＢ/ＯＢ)^2)
＝sinε・cosδ/√(1-sin^2ε・sin^2δ)

結局はtanαからsinαを計算するのと同じですが、辺ＢＣの計算で三平方の定理を使う以上は、辺ＢＣを考えずにそれ以外の辺の比だけでsinαを解釈しようとするのは無理があると思いますよ。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。

しばらく考えていたのですが、３列目から何故分子が
突然tanαになってしまうのかちょっと分かりません。
それとも式の意味が違うのでしょうか？
すみませんが、この行からの説明をお願い出来るでしょうか？

回答No.2

nag0720

tanαが分かれば計算でsinα、cosαが導き出せますが、それではだめなのですか？
辺の比として解釈したいのであれば、辺ＢＣの長さを計算すれば分かるのでは？（∠ＣＯＢは直角ですよね）

補足

>（∠ＣＯＢは直角ですよね）

そうです。

計算でsinαやcosαを導くのではなく、式の意味が知りたいところなのです。
どちらも分母が同じ式になっている事から、辺の比として直角三角形の斜辺を
表しているような気がするのですが、そうとしてもtanαのような理解が
通用しないのです。
どういった解釈をすれば式の意味が分かるのか悩んでいます。

因みにtanαの式の場合は

ＯＣ/ＢＯ＝ＯＣ/ＡＯ×ＡＯ/ＢＯ

と読み替えて計算すると辺ＡＯが消えてきれいに成り立ちます。
つまり、δ°回転させた時の三角定規の変形をうまく説明出来ていると思うのです。
けれどもsinαとcosαの式はこの方法では理解できない事から、
そもそもこの理解の仕方自体が間違っているのかと思うのです。

回答No.1

gohtraw

＞xy平面上へｚ軸方向からε度で交わる直線との交点
　　→直線と何の交点ですか？
＞その直線上の点Ｏから伸びる鉛直線と平面との交点
　　→どの平面ですか？
　　→どの面が水平面なのか指定しないと鉛直線も決まりません
＞ＣＯを軸としてδ度回転させたとき
　　→単なる回転ですか？

補足

説明がわかり辛くてすみません。

＞→直線と何の交点ですか？

直線と平面の交点です。

＞→どの平面ですか？

xy平面です。これが水平面です。
鉛直線は最初に引いたｚ軸方向の線に対して直角という意味です。

＞→単なる回転ですか？

ＣＯはｚ軸に対してε度傾斜しているので、これが回転すると
私が鉛直線と呼んだ交点の角度以外は全部変わってしまいます。

イメージで説明しますと、角３０°６０°９０°の三角定規を角９０°
を頂点にして平面に対して直角に置き、
角３０°と角９０°を結ぶ辺を軸に３０°時計回りに回転させた場合です。
しかしこの三角定規は軸となる辺と、角９０°以外は
形を変えながら常に平面に密着しているとします。
そうすると他の二辺の長さや角度も変化してしまうのですが、
その変化を三角関数で表すというものです。