弦の長さの問題です

質問

学生のときに友人から問題だけ教えてもらって答えを教えてもらえなかった問題です。

　円に任意の弦を引くとき、弦がその円に内接する正三角形の一辺より
長くなる確率は(1)1/2、(2)1/3、(3)1/4　のうちのどれか。

(1)　弦が正三角形の一辺よりも長くなるのは、弦の向きをすべて
　　(水平に)そろえ、底辺が下にある正三角形の底辺と、底辺が上に
　　ある逆三角形の底辺とにはさまれたときと考え、1/2。
(2)　円周上の一点を固定し、その点の周りに弦を回転させると考え、
　　正三角形の一つの角60度の内側にあるときがそうだとする考えで、
　　1/3。
(3)　弦をその中点で代表させ、中点が正三角形に内接する円の内側に
　　あるときがそうだと考え、円の面積の比から、1/4。

という解説がつきます。

　私は(1)が正解か、もしくは正解はない、かのどちらかと思いますが、
いかがでしょう。(1)が正解とするのは弦を何本も引いたとき、密度が
一様であるから。正解がないとするのは、"任意の弦"　自体が自然に
定義されるものではなく、何らかの定義がそのつど必要ではないかと
考えるからです。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

ご友人にからかわれましたね。
これ、「Bartrandの逆説」と呼ばれている、有名なパラドックスです。そして、ご質問の文章の最後の部分がほぼ「当たり」です。

(1)(2)(3)はどれも「正解」であり、さらには、
円周上の１点Aで外接する、長さLの任意の閉曲線を考えます。弦は閉曲線上の点xとAとを結ぶ直線上に描くことにする。そうすると、閉曲線上のどこに点を取るか、という確率の話ですから、閉曲線を変えれば好きな答になるようにすることができる。

これは、「確率という概念が、何が『同じぐらい起こりやすい』と仮定するか（同等性の仮定）、に決定的に依存している」という事情を端的に表しているんです。
「円に任意の弦をひく」と言っただけではどのような「同等性の仮定」を立てたのかが全く決まっていない。ですから、答は何でもありになってしまいます。（これをたとえば「針を落とすことで弦を決める」というのなら、適切な「同等性の仮定」が決まり、従って確率を計算することも可能です。）

お礼

ご解答ありがとうございました。
　なるほど、「同等性の仮定」なんてことが必要になるんですね。
乱数のようについ均等に現れることを前提にすることばかり考えていました。
長年のもやもやがこれできれいに解消しました。ありがとうございました。