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同じ誕生日の人が複数組存在する確率

2014/02/14 04:51

乃木坂46というアイドルグループの１期生には、誕生日が同じ人が４組合計８人います。生田絵梨花さんと市來玲奈さんが1月22日、伊藤万理華さんと橋本奈々未さんが２月20日、秋元真夏さんと白石麻衣さんが8月20日、井上小百合さんと大和里菜さんが12月14日です（生まれた年は井上さんと大和さんだけが同じです）。乃木坂46の１期生は34人（現在は4人卒業されていて30人）ですが、34人の中で同じ誕生日の人が4組も存在するということは非常に稀なことではないでしょうか。この確率は、いったいどれくらいのものなのでしょう？計算方法をご教示ください（取り敢えず、うるう年は考慮しなくても結構です）。

genshisyounen
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数学・算数
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ramayana
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2014/02/15 00:02 回答No.4

34 人の中に2月29日生まれがいないという条件で、かつ各人の誕生日が独立だとしたら、誕生日が同じペアが 4 組になる確率は、0.0315 より大きいと言えそうです。（１）　まず、どの日も誕生日になる確率が 1/365 の場合も考えます。以下、L = 34、D=365 とします。 L 人からペアを 4 組選ぶパタンが X 通りとすると、　　X = (L(L-1)/2)・((L-2)(L-3)/2) ・((L-4)(L-5)/2)・((L-6)(L-7)/2) / 4!　。その4ペアの誕生日のパターンを Y 通りとすると、ペア間で誕生日が重複しないから、　　Y = D(D-1)(D-2)(D-3)　。残り L-8 人の誕生日のパターンを Z 通りとすると、どの 2 人も、また、先のペアとも誕生日が重複しないから、　　Z = (D-4)(D-5)…(D-L+5)　。 X×Y×Zが、同じ誕生日のペアが 4 組になる場合の数。一方、 L 人のすべての誕生日のパターンを W 通りとすると、　　W = D^L　。求める確率は、X×Y×Z / W である。実際に数値を当てはめて計算すると、　　X×Y×Z / W ≒ 0.031544 。（２）　さて、現実には、誕生日がすべて均等な確率ということはありません。厚生労働省「人口動態統計」をみると、おおむねどの年も 1 月に多く 9 月に少ない傾向があります。西暦2000年の場合、 1 月が31日間で 98,264 人、 9月が30日間で 69,524 人です。これは、誕生日に偏りがあることを示しています。誕生日に偏りがあれば、誕生日が一致するペアが生ずる確率が高まると考えられるので、実際の確率は、上の 0.0315 より大きいとみられるのです。（３）　現実の確率を計算するためには、日別の出生数のデータが要ります。これがあれば、計算式を作って計算することもできるでしょう。また、出生数の分布に基づきランダムに誕生日を発生させて、シミュレーションで計算する方法もあります。

質問者

お礼 2014/02/15 05:57

回答、ありがとうございました。最初は理解できませんでしたが、何度も読んで考えているうちに正しい考え方であることがわかりました。検算もさせていただきましたが、間違いありませんでした。階乗の計算をエクセルのFACT関数でやると、桁数が大きすぎてオーバーフローエラーが起こることもわかりました。面倒な計算をしていただき、ありがとうございます。 (2),(3)で書かれていることもそのとおりだと思います。良く考えられた素晴らしい回答だと感心しました。

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born1960
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2014/02/14 06:27 回答No.3

　http://keisan.casio.jp/exec/system/1161228814 こちらによると、34人中、1組でも誕生日が一致する確率が79.531686462015％もあるとか。そういえば、40人位いるクラスで同じ誕生日というのが2組くらいあったような気がします。　しかし、4組ともなれば、それはすごく稀なことですね。 34人中1組が79.531686462015 32人中1組が75.334752785032 30人中1組が70.631624271927 28人中1組が65.44614723424 　0.79×0.75×0.70×0.65・・・なんて計算じゃないのでしょうね（笑）

質問者