偏微分、重積分

質問

f(z-x,z-y)=0で定まるx,yの陰関数zについて、∂z/∂x+∂z/∂y=1が成り立つことを証明せよ

z=√(x^2+y^2)のz=1/2x+3より下方にある部分の表面積を求めよ

この2問をできるだけ丁寧に教えていただきたいです(T^T)
どちらかでもいいのでお願いします…

回答No.3

Water_5 · ベストアンサー

数学の場合は、意味がわからないといけません。
意味がわかれば、たとえ答えが間違っていても合格です。

問題○投げは事実なので。これからの勉強法
＃１、＃２の答えを、一行ずつ筆記してください。

その時、その一行の意味を理解してください。
わからない時は、その行で停止し、意味がわかるまで
考えてください。

わからないからと言って下行に進まないで下さい。
もしそれをやると、回答丸写しになり意味がないですね。

意味がわからないのですから、類似問題が出ると
また解けないよね。これを繰り返しますか？

こうなると、問題と回答丸写しのいたちごっこですね。

これでは意味がありませんね。回答者が言う教科書を
読んで理解せよとはこういうことなのです。

回答No.2

info22_

問題の丸投げ、解答の丸写しはあなたの為になりません。
写すのは理解し消化できた範囲だけにして参考にするだけにとどめて下さい。
学校の課題だと解答の丸写しの解答が複数者から出ると問題となることがあります。

>微分の方はお分かりになりませんかね??
f(u,v),z(x,y)とすると
u=z-x,v=z-y
f(z-x,z-y)=0

xで偏微分
(∂f/∂u)(∂z/∂x-1)+(∂f/∂v)(∂z/∂x)=0
(∂f/∂u)/(∂f/∂v)=(∂z/∂x)/(1-∂z/∂x)...(A)

yで偏微分
(∂f/∂u)(∂z/∂y)+(∂f/∂v)(∂z/∂y-1)=0
(∂f/∂u)/(∂f/∂v)=(1-∂z/∂y)/(∂z/∂y) ...(B)
(A),(B)より
(∂z/∂x)/(1-∂z/∂x)=(1-∂z/∂y)/(∂z/∂y)
(∂z/∂x)(∂z/∂y)=(1-∂z/∂x)(1-∂z/∂y)

左辺-右辺=
(∂z/∂x)(∂z/∂y)-(1-∂z/∂x)(1-∂z/∂y)
=(∂z/∂x)+(∂z/∂y)-1=0

∴(∂z/∂x)+(∂z/∂y)=1
[証明終り]

[後半]
>教科書を読んでもいまいち理解できませんでした。
諦めた方が良いかも？
付き合いきれないので、解答を書いておきます。

>後半のはz=(1/2)x+3です。
この平面による切断面のxy平面への正投影が積分領域Dになります。

>>D={(x,y)|3(x-2)^2 +4y^2≦48}...(☆)
>>z=√(x^2+y^2)
>>S=∫∫[D]√{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2} dxdy

∂z/∂x=x/√(x^2+y^2),∂z/∂y=y/√(x^2+y^2)より
√{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2}=√2なので
S=∫∫[D]√2dxdy
=√2∫∫[D] dxdy
=√2×(領域Dの楕円の面積)
=√2×πab
a=楕円領域のx軸半径=√(48/3)=4
b=楕円領域のy軸半径=√(48/4)=2√3
を代入して
∴S=π8√6

お礼

解答ありがとうございます。

ただ、諦めるの意味がわかりません。

人それぞれ、得意分野苦手分野はあるので、そういう言い方はやめていただきたいです。

あと、課題でもなんでもありません。
予習してるだけですので。

回答No.1

info22_

後半の
>z=1/2x+3
は
z=(1/2)x+3
z=(1/(2x))+3
z=1/(2x+3)
のいずれか、回答者に分かるようにお書き下さい。

曲面の面積公式（積分公式）なら教科書や参考書に載ってる
z=√(x^2+y^2)
S=∫∫[D]√{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2} dxdy
D={(x,y)|3(x-2)^2 +4y^2≦48}

どこまでできて、どこが分からないのでしょうか？できてるとこまでの途中計算を補足に書いていただけないですか？

ところで、前の質問の(1)は自己解決したのでしょうか？

お礼

解答、ありがとうございます。

微分の方はお分かりになりませんかね??

教科書を読んでもいまいち理解できませんでした。

補足

後半のはz=(1/2)x+3です。