陰関数で囲まれた部分の面積を求める理論はありますか

質問

陽関数y=f(x)で囲まれた部分の面積は、
∫[a,b]f(x)dx
を元に求めます。

媒介変数x=f(t),y=g(t)で囲まれた部分の面積は、
∫[α,β]g(t)*f’(t)dt
を元に求めます。

すると、陰関数f(x,y)=0で囲まれた部分の面積はどのように求めればよいのでしょうか。
陰関数が、解いて陽関数で表されたり、置換して媒介変数表示されたり、x、y座標を変換してr、θの極座標などで表されたりすると、当然求められるのですが、それらでうまくいかないときに、いい方法はありますでしょうか。

例えば、添付図は、x^5-x=y^5-yのグラフです。
陽関数表示できないようにするために5次式にしてみただけで数式自体に意味はないです。

たとえ陽関数表示できたとしても、不定積分が初等関数で表されない場合もあり、
x^5-x=y^5-yでできる面積もよく知られた数では表されない可能性もあり、
そのときは数値計算の理論があるかと思いますが、それには興味がないです。

別の例でもいいので、陰関数で囲まれた部分の面積を求める理論がありましたらどうか教えていただきたいと思います。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ANo.1の追加です。
　ルベーグ積分は、いわば「等高線ごとに区分けして足し算していく」というやり方で、境界線がぐちゃぐちゃになっててリーマン積分には手が出せないような場合でも扱えるのが特長です。が、それはさておき。

　求積したい領域が明示できたとしての話ですが、領域の面積を計算する時に、領域を別の簡単な形の領域に写像するということをよくやりますよね。(ANo.2で示していただいたような)至る所一様な「密度」を元の領域に渡って積分する代わりに、写像された領域で一様でない密度を積分する。これは要するに変数変換であり、「一様でない密度」とはヤコビアンそのものです。
　たとえば領域S={(x,y)|x^2+y^2<R^2}を
　　r=√(x^2+y^2), θ=Atan(x/y)
で写像すると、矩形の領域
　　D={(r,θ)| 0≦r<R ∧ 0≦θ＜2π}
に写り、Dでの密度はJ=|r|になる。これをDについて積分する訳です。
　　∫∫Jdθdr ((r,θ)∈D)

　この観点で陽関数の場合を見直すこともできます。たとえば
　　S={(x,y)|-R＜x＜R ∧ -√((R^2-x^2)＜y＜√((R^2-x^2)}
において、(x,y)を(X,Y)へ
　　X = x, Y=y/(2√(R^2-x^2))
で写像する。（一般にy=f(x)のとき、Y=y/f(x)とすれば良い。）すると領域Sは矩形の領域
　　D={(X,Y)| -R<X<R ∧ -1/2＜ Y＜1/2}
に写り、
　　∂x/∂X = 1, ∂y/∂X = 0
　　∂x/∂Y=…, ∂y/∂Y=2√(R^2-X^2)
なので、Dでの密度は
　　J=2√(R^2-X^2)
従って、
　　∫∫JdYdX ((X,Y)∈D) = ∫JdX (-R<X<R)
となる。これはx=X, ∂y/∂X = 0で、しかも∂y/∂YにYが出てこないからであり、「結果的に」二重積分が一重の積分に還元された、と言えます。陽関数の普通の定積分も、同じように考えることができます。さて、ここで言う「密度」を「測度」と捉え直せば（正確には、符号の問題を整理しなくてはなりませんが）これはルベーグ積分の簡単な例だとも言えるわけです。

回答No.3

alice_44

理論をお訊ねだったと思いましたが。

具体的な計算は、個々の f に応じて
工夫するしかないでしょう。
積分って、そういうものです。
∫g(x)dx ですら、個々の g に応じて
工夫するしかないのですから。

回答No.2

alice_44

f(x,y) から派生して、
F(x,y) = lim[(u,v)→(x,y)] f(u,v)/｜f(u,v)｜
を考えます。
(1+F(x,y))/2 または (1-F(x,y))/2 を
全平面を積分領域として積分すれば、
囲まれる面積が求まります。
f が特別変わった関数でなければ、
ルベーグでなくても、リーマン積分で済む
場合も多いものです。
二つの関数のどちらを積分すべきかは、
個々の f に依ります。
面積を表さないほうの積分は発散するので、
やってみれば判ります。

お礼

ご回答に感謝いたします。
F(x,y) = lim[(u,v)→(x,y)] f(u,v)/｜f(u,v)｜
というのは、f(x,y)の正領域では＋1、負領域では-1をとるのですね。
そして、境界では定義されない。
(1+F(x,y))/2は、正領域では＋1、負領域では0をとるのですね。

理論としてはわかるのですが、計算方法としてうまくいく例はあるのでしょうか。

回答No.1

stomachman

> 陽関数y=f(x)で囲まれた部分の面積は、

> ∫[a,b]f(x)dx
> を元に求めます。

　ご承知の通り、この式で面積が計算されるのは、{(x,y)| a＜x＜b ∧ 0＜y＜f(x)}という領域です。つまり、「陽関数y=f(x)で囲まれた部分の面積」というだけでは領域が指定できていない。このことにひとまず注意した上で、では、面積を計算すべき領域Aそのもの、つまり領域に含まれる点全体がなす集合Aは、f(x,y) を使って一体どう表されるでしょうか。これがはっきり言えない限りは、領域Aが定義されないので話が始まらない。「ここんとこの面積を計算して。」の「ここんとこ」の指定を行うことが先決というわけです。たとえば
　　 f(x,y)=x^2+y^2-1
という陰関数を使って単位円の内部の点の集合Aを表したければ
　　A={(x,y)|f(x,y)<0}
とすれば良い。しかし、{(x,y)|f(x,y)<0}がいつでも「囲まれた領域」になっている訳ではなく、たとえば同じ単位円でも
　　 f(x,y)=1-x^2-y^2
や
　　 f(x,y)=(1/(x^2+y^2)-1)^2
だとたちまちそうは行かない。もっとややこしい例もいろいろ作れるでしょう。

　ところで、もし
　　A={(x,y)| s f(x,y)＞0} 　　(s∈{-1.1})
の面積を計算したいのであれば、
　　dμ(t) = ({(x,y)| t＞0 ∧ dt＞(s f(x,y)-t)＞0}の面積）
を積分すればいい。ルベーグ積分の考え方です。

お礼

ありがとうございます。

ところで、もし
　　A={(x,y)| s f(x,y)＞0} 　　(s∈{-1.1})
の面積を計算したいのであれば、
　　dμ(t) = ({(x,y)| t＞0 ∧ dt＞(s f(x,y)-t)＞0}の面積）
を積分すればいい。ルベーグ積分の考え方です。

　　A={(x,y)| 1-x^2-y^2＞0} 　　(s=1,f(x,y)=1-x^2-y^2)
の面積を計算したいとき、
　　dμ(t) = ({(x,y)| t＞0 ∧ dt＞(1-x^2-y^2-t)＞0}の面積）
　 = ({(x,y)| t＞0 ∧ 1-t-dt＜x^2+y^2＜1-t)}の面積）
=πdt
面積=∫[0,1]πdt=π

ということでしょうか。
しかし、最後で円の面積の公式を使ったし、あまり役立った気がしません。

ルベーグ積分は極限とか無限が絡む計算には有意義と聞いたことありますが、陰関数の積分計算にはどう関連するのでしょうか。

いろいろな曲線の表示において、微分や積分を整理してみましたので、改めて投稿したいと思います。