摩擦のあるループでの円運動

質問

質量ｍの小物体を、半径Rの正円型のループに向かって、初速度v0で走らせる。
ループの床と小物体との動摩擦係数はμで、ループ以外の場所は滑らかであるとする。
このとき、小物体がループを一回転するための初速度の条件を求めよ。

知恵袋で見た質問なのですが、以下のやり方はあっていますか?

ループの最高点まで達すれば一回転するというのはあやしいところなので、とりあえず最高点まで達する条件を求めます。
ループの中心を点Oとし、そこから床に下ろした垂線の足をHとする。ループ上の点をPとし、角HOP=θ (0≦θ≦π)とおく。物体が点Pにあるとき、物体の速さをv, ループが物体に及ぼす垂直抗力をNとおくと、ループの中心方向の運動方程式より
(mv^2)/R=N-mgcosθ
エネルギー保存則より
(mv0^2)/2=(mv^2)/2+mgR(1-cosθ)+μNRθ
2式より
N={mv0^2-(2-3cosθ)mgR}/(1+2μθ)R
v=√[{v0^2+(3cosθ-3-2μθcosθ)gR}/(1+2μθ)]
よってループの最高点での物体の速さをv'とおくと
v'=√[{v0^2+(2μπ-6)gR}/(1+2μπ)]
また、Rθ=xとおくと、最高点に達するまでに摩擦によって失うエネルギーは
∫[0→πR] μN dx= ∫[0→πR] [mv0^2-{2-3cos(x/R)}mgR]/(R+2μx) dx
={(mv0^2-2mgR)log(1+2μπ)}/2μ+∫[0→πR] 3cos(x/R)mgR/(R+2μx) dx
後ろの積分のやり方がわからないのでWとおきます。
最高点に達するための条件は
(mv0^2)/2≧(mv'^2)/2+2mgR+{(mv0^2-2mgR)log(1+2μπ)}/2μ+W
v0≧√[{10πμ^2-2μ-2(1+2μπ)log(1+2μπ)}/{2πμ^2-(1+2πμ)log(1+2πμ)}+2W/m]

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

>エネルギー保存則より
>(mv0^2)/2=(mv^2)/2+mgR(1-cosθ)+μNRθ

ここが違うのではないですか。Nがθの関数なので

(mv0^2)/2=(mv^2)/2+mgR(1-cosθ)+∫[0->θ] μ N(θ) R dθ

解析的には解けないかもしれないですね。