物理の円運動の問題

質問

画像参照。

半径ｒのなまらかな半球の頂上で物体に水平に初速度ｖを与えた
とき頂上で物体が半球から離れて空中にとびだすためのｖの条件は

この問題の私の捉え方は、頂上で物体が半球から離れるとかいてあるので
物体が頂上にいて、それをぱかーんっと棒かなんかで打って、半球から離れる
という意味だと思うのですが、
(1)それなら円運動関係なくないですか・・？
それなら崖の先に物体をおいてぱかーんっとしても同じことでなはないのですか。。

(2)この物体が頂上にあるとき重力ｍｇと垂直抗力Nが働いてつりあってるとおもっていたのですが
解答では遠心力も入っていて、↑ではNと垂直抗力 ↓ではｍｇ
これでつりあってるみたいで、ｍｖ^2/r＋N－ｍｇ＝０となっているのですが
なぜ頂上にいるだけで遠心力がかかっているのですか。もしかして、動き出したその瞬間を捉えているのですか？

(3)解説では、垂直抗力は０になるときはまだ物体は半球からは離れていない
とかいていますが、それはなぜですか
先生は、Nが０になっても、遠心力とｍｇがつりあってるからといわれました、
確かにｍｖ^2/r＋N－ｍｇ＝０のときN=0を代入すると一緒になりますが、そもそも
Nと遠心力ふたつあわせてｍｇになるのにNが０になるときそれもｍｇと一緒って・・なんかおかしくないですか・・。。

すいません、理解力ない私・・。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>(1)それなら円運動関係なくないですか・・？

v が十分大きければ。小さいときは円に沿って動きます。

>(2)この物体が頂上にあるとき重力ｍｇと垂直抗力Nが働いてつりあってるとおもっていたのですが

加速度運動する物体に加わる力は釣り合っていません。釣り合っていないからこそ加速度運動します。

m(dx^2/dt^2)=F(重力や垂直抗力)

これを書き換えると

0 = F - m(dx^2/dt^2)

つまり、加わる力と「慣性力」は釣り合います。先生の言っているのはこれですね。
つまり動力学でつり合いで考えるなら「慣性力」を含めるのが必須だってことです。

ちなみにN(垂直抗力)は束縛力と呼ばれるもので、束縛を保つために必要な
力を自動的に生み出します。

回答No.1

hitokotonusi

＞(1)それなら円運動関係なくないですか・・？

初速次第です。
鉛直方向には重力が働いているので、障害がなければt秒後には必ず(1/2)gt^2だけ下に動きます。
この間、水平方向にvt進みますが、このときにvが十分に大きければ水平にvt進んだ位置と球面の間に(1/2)gt^2より大きな間隔があいているので物体は球面に衝突することなく放物線を描いて落下していきます。

ところが、vが小さいとvt水平に進んだ位置と球面の間の距離が(1/2)gt^2より小さいということがおきます。このとき、物体は球面より下には下がれないので、球面から垂直抗力を受けて球面上に留まることになります。

料理に使うボールを裏返しにおいてそのうえでパチンコ玉かビー玉を軽く軽く触って動かす事を考えたらいいでしょう。

＞(2)この物体が頂上にあるとき重力ｍｇと垂直抗力Nが働いてつりあってるとおもっていたのですが

上のとおりvが小さいときは球面に乗って円運動します。円運動するためには向心加速度mv^2/rが必要です。
この向心加速度は重力と垂直抗力の差によって作られるので

mv^2/r = mg - N

考えにくければ、頂点から球面上を円運動して角θだけ移動したとすると、この動径方向のつり合いの式は

mv(θ)^2 /r = mg cosθ-N(θ)

なので、この式のθ－＞0の極限と考えればいいでしょう。厳密にθ=0なのではなく、θ=0から無限小の角度進んだところのつり合いの式。

>(3)解説では、垂直抗力は０になるときはまだ物体は半球からは離れていない
とかいていますが、それはなぜですか

まあ、離れると離れないの境界ですね。
円運動するときの条件がN<0ということになったとすると、垂直抗力ではNが負にならないので条件を満たさず、N<0になった瞬間に球面を離れるということになります。