不等速円運動

質問

等速円運動のときの
求心力の式
F = M*V^2/r　　　　(Mは質量、Vは速さ、rは半径)

この式のVは“等速”つまり、速さは変化しないという前提のもとで、
F = M*V^2/r　という式を導き出しているのに、

宙返りジェットコースターのような、
不等速円運動でも使われているのは何故でしょうか?

例えば宙返りジェットコースターの
高さが最高になる点での運動方程式は
(下向きを正と考え、質量をM、
そのときの速さをv、半径をｒ、垂直抗力Ｎとし、
観測者は地上から見ているとする）

MV^2/r = Mg + N

となっています。

このVは明らかに等速ではないのに、
Ｆ＝MV^2/r　の式が使えるのは何故でしょうか？

回答No.1

Willyt · ベストアンサー

Ｆ＝MV^2/r　の式は何処にも等速でなければならないとは書いてありませんよ。Ｖは変数であり、ｒがコンスタントなら遠心力ＦがＶの変化に応じて刻々変わるだけのハナシです。

お礼

ありがとうございます！
やっと理解できました

回答No.4

connykelly

ご質問の不等速円運動というネーミングは面白いですね（←失礼）。確かに等速だから加速度は0ではないの？と思いがちですが、速度はベクトルであることを思い出してください。つまり「大きさ」と「向き」を持っています。等速円運動の場合、円周を回る速度はその「大きさ（速さ）」が同じということで”等速円運動”と呼んでいますが、留意すべきポイントは速度の「向き」は時々刻々変化しているということで、この時間変化から加速度が生じることになります。加速度が生じるとニュートンの運動方程式により力（向心力）が生じます。ということで参考URLにこのあたりの詳しい事情か書かれていますので一度ご覧になってください。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/circularMotion/

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/circularMotion/

お礼

大変詳しい解説ありがとうございます
おかげでやっとりかいできました。

回答No.3

ht1914

向心力の式は向心加速度から出てきています。
Ｆ＝ｍａのａの部分が向心加速度です。ａ＝ｖ２／ｒです。
加速度は運動の各瞬間に対して決まります。運動の速さが変わっても向きが変わっても加速度が出てきます。各瞬間で決まる量ですから同じ運動がその後ずっと続いているということと関係はありません。
ただそれを当てはめるときの運動の例としてよく出てくるのが等速円運動だということです。取り扱いが簡単です。
高校で出てくる振り子の運動は等速円運動ではありません。張力を考えるときは向心加速度の表現が必要になってきます。

お礼

中心に向いた力だけを考えてでてきたのが向心力で
そのほかの向きに働く力が円運動を”不等速”　にすると考えることで納得できました。ありがとうございます！

回答No.2

endlessriver

弧長をs(t)とするとv=ds/dt,法線方向の加速度anは
an=κv^2=(1/ρ)(ds/dt)^2=(v^2)/ρ
ρは曲率半径です。これらから、掲題の式が得られます。
式の導出はフレネ・セレーの公式を使って導かれるのですが力学の本に出ていると思います。