積分の問題です。

質問

重積分の計算の途中の部分です。∫（0からa） r/√(a^2-r^2)dr は [- √(a^2-r^2)]（0からa） になるとの事ですが、何故そうなるのか導き方が分かりません。どのようにして導くのでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.2

private3int · ベストアンサー

高校数学3の問題。

置換積分を使う
∫f '(x)/√(f(x)) dx = 2√(f(x)) + C
本問は、ルート内のrの次数と分子のｒの次数の差が1次なので、このパターンを用いる。

r = -1/2 (d/dr)[(a^2 - r^2)] である。

したがって、∫(-1/2)[(d/dr)(a^2 - r^2)]/[√(a^2 - r^2)]dr になり、
-[√(a^2 - r^2)](0～a) = a

という感じです。

お礼

置換積分、思い出しました。ありがとうございます。

回答No.1

info22_

積分公式
∫g'(x)f(g(x))=F(g(x))+C
但し、F(x)=∫f(x)dx+C

この公式は微積分の教科書に載っているの思いますが習いませんでしたか？

>∫(0→a) r/√(a^2-r^2)dr は [-√(a^2-r^2)](0→a） になる

上の積分公式を適用すれば
f(t)=1/√t
g(r)=a^2-r^2
とおけば
F(t)=∫f(t)dt=2√t+C, g'(r)=-2r
なので
∫g'(r)f(g(r))dr=∫-2rf(a^2-r^2)dr=-2∫r/√(a^2-r^2)dr
=F(g(r))+C=2√g(r)+C=2√(a^2-x^2)+C
これから
-2∫r/√(a^2-r^2)dr=2√(a^2-x^2)+C
両辺を-2で割れば
∫r/√(a^2-r^2)dr=-√(a^2-x^2)-C/2
積分の範囲を入れれば

∫(0→a) r/√(a^2-r^2)dr=[-√(a^2-r^2)](0→a)

と質問の式変形が得られます。
この一連の解答の計算操作を
∫(0→a) r/√(a^2-r^2)dr
=-(1/2)∫(0→a) (a^2-r^2)'*(a^2-r^2)^(-1/2) dr
=-(1/2)[2(a^2-r^2)^(1/2)](0→a)
=-[(a^2-r^2)^(1/2)](0→a)
= …
のように書いて行ます。

お礼

ありがとうございます。助かりました。