数字の問題を教えて下さい。

質問

∫√{1-r^(2)}*rdrの計算方法を教えて下さい。

部分積分で、
{(1/2)*(r^2)*√{1-r^(2)}-∫(-1/3)*√[{1-r^(2)}^3]drとなると思ったのですが、本では、
(-1/3)*√[{1-r^(2)}^3
となっているのです…

どうかお願いします。

回答No.2

info22

なぜ部分積分をするのですか？
折角、√内の微分からrが出て来るのを利用しない手は無いです。

{√(1-r^2)}*r＝{(1-r^2)^(1/2)}(1-r^2)'*(-1/2)
＝{(1-r^2)^(3/2)}'*(2/3)*(-1/2)
＝(-1/3){(1-r^2)^(3/2)}'

となりますから、この積分
∫√{1-r^(2)}*rdr＝(-1/3)(1-r^2)^(3/2)＋C
となります。

回答No.1

R_Earl

1-r^(2) = tとおいて置換積分したら解けると思います。

> {(1/2)*(r^2)*√{1-r^(2)}-∫(-1/3)*√[{1-r^(2)}^3]drとなると思ったのですが、本では、
> (-1/3)*√[{1-r^(2)}^3

(-1/3)*√[{1-r^(2)}^3は何を表しているのでしょうか？
最終的な答えでしょうか？それとも計算過程でしょうか？

補足

回答ありがとうございます。
何年も昔の話しで、置換積分忘れてました。

重積分のところで、解答編の中で、質問部分の積分した項が、式の(-1/3)*√[{1-r^(2)}^3になっていたが、その過程が書かれていなかったのです。