北大2008年過去問 数学第三問 の解き方

質問

(3)の解き方ですが、答えが(2)と似ているので、(2)を利用して解くのかと考えてみたのですが、分かりませんでした。
ちなみに赤本は違う解法でした。
(2)を利用する解法があるか、あればどう利用するのか、どなたかわかる方ご教授願います。

関数f(x)を
　f(x)＝ 3x^2 /(2x^2 ＋ 1)
とする。

(1) 0＜x＜1 ならば、0＜f(x)＜1 となることを示せ。
(2) f(x)－x＝0 となるxをすべて求めよ。
【答、x＝0、1/2、1】
(3) 0＜α＜1 とし、数列{ａn}を
ａ1＝α、αn+1＝f(ａn) (n＝1、2、…)
とする。αの値に応じて、lim(n→∞)αn を求めよ。
【答、0＜α＜1/2 のとき 0 、α＝1/2 のとき 1/2 、1/2＜α＜1 のとき 1 】

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

「αn」は紛らわしいので「α[n]」と書くことにします。

(2)を解く際に、

0<x<1/2ならばf(x)<x
x=1/2ならばf(x)=x
1/2<x<1ならばf(x)>x

がわかりましたよね？だから、極限が存在するとしたら、

0<α<1/2ならば0≦limα[n]≦1/2
α=1/2ならばlimα[n]=1/2
1/2<α<1ならば1/2≦limα[n]≦1

がすぐわかります。この後はそれに則って計算すればよくて、
以下の方針で進めます。

0<α<1/2のとき、
f(x)=xg(x)（ただしg(x)=3x/(2(x^2)+1)）を
考えて、

α[n]=α[n-1]g(α[n-1])
=α[n-2]g(α[n-2])g(α[n-1])
=...=αg(α[0])g(α[1])...g(α[n-1])
≦αg(α)^n

を利用してα[n]→0を言います。（詳細は省略）

1/2<α<1のとき、
1-f(x)=(1-x)h(x)（ただしh(x)=(1+x)/(2(x^2)+1))
を考えて、

1-α[n]=(1-α[n-1])h(α[n-1])
=(1-α[n-2])h(α[n-2])h(α[n-1])
=...=(1-α)h(α[0])h(α[1])...h(α[n-1])
≦（1-α)h(α)^n

を利用してα[n]→1を言います。（詳細は省略）

お礼

詳しく分かりやすい解説をありがとうございました。

回答No.1

f272

(2)でf(x)-x=0の解を求めたのなら0<α<1/2 のときにf(x)<xということもわかったよね。
だとすればa[n+1]=f(a[n])<a[n]だからa[n]は減少数列であって0<a[n+1]<a[n]<1/2ということがわかる。
さらにどんなに小さな正の数eを考えてもnを大きくすればいくらでも0<a[n]<eとできるから(x→0のときf(x)→0)
a[n]→0だとわかる。
α=1/2 のときや1/2<α<1のときも同様にすれば簡単。

お礼

すっきりしました。ありがとうございました。