数学です。【幾何学】

質問

2xy+2yz+2xz+2√6x+2√6y-2√6z-16=0　を
座標変換により、座標とグラフの形を求めよ。

固有値を求めてから、固有ベクトルを求めて解くのはわかるのですが、
固有値の求め方がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

２次型式を対称行列で表現する方法でつまづいているようですね。次の手順で作業します。

　　(A)　平行移動で１次の項を消す。
　　(B)　対称行列で表現する。
　　(C)　固有値を計算する。
　　(D)　直交変換する。
　　(E)　グラフの形を求める。

(A)　平行移動で１次の項を消す。

x = x'+a、y = y'+b、z = z'+c と置くと、元の式は、

　　[1]　　2(x'+a)( y'+b)+2( y'+b)( z'+c)+2(x'+a)( z'+c)
　　　　　　+2√6(x'+a)+2√6( y'+b)-2√6( z'+c)-16 = 0

となります。すると、

　　x' の係数 = 2b + 2c + 2√6
　　y' の係数 = 2a + 2c + 2√6
　　z' の係数 = 2b + 2a - 2√6

です。これらが0になるように a, b, c の連立方程式を解くと、

　　a = √6/2, b = √6/2, c = -3√6/2

です。これらを [1] に代入して、次のようになります。

　　 [2]　　2x'y' + 2y'z' + 2x'z' - 1 = 0

(B)　対称行列で表現する。

[2] 式は、対称行列 S を使って、添付図のように表せます。

(C)　固有値を計算する。

S の固有多項式が -X^3 + 3X + 2 なので、固有値は、 2, -1, -1 です。

(D)　直交変換する。

よって、x', y', z' を適当に直交変換してそれをx'', y'', z'' とすることにより、 [2] 式を次のように表すことができます。

　　[3]　2x''^2 - y''^2 - z''^2 = 1

(E)　グラフの形を求める。

[3] 式で表わされる図形は、x''y'' 平面上の双曲線2x''^2 - y''^2 = 1をx'' 軸を軸として回転させて得られる曲面です。次のように変形すれば、イメージが湧きやすいかも。

　　[4]　 2x''^2 - (y''^2 + z''^2) = 1

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

ベストアンサーにさせていただきます。