数列の問題です

質問

数列a_n,b_nが次のように定められている：a_1=√3/2,b_1=1/2
a_n+1=1/2a_n＋√3/2b_n
b_n+1=-√3/2a_n＋1/2b_n
(1)(a_n)^2+(b_n)^2を求めよ。
（２）a_n+3とa_nの関係式およびb_n+3とb_nの関係式をそれぞれ求めよ。
（３）a_n,b_nを求めよ。

回答No.2

ereserve67

回転行列R(θ)や複素数e^{iθ}を使うと簡単に解けますが，それを使わずにやってみましょう．

(1)a_{n+1}^2+b_{n+1}^2

=(a_n/2+√3b_n/2)^2+(-√3a_n/2+b_n/2)^2

=a_n^2/4+√3a_nb_n/2+3b_n^2/4-√3a_nb_n/2+b_n^2/4

=a_n^2+b_n^2

また

a_1^2+b_1^2=3/4+1/4=1

よって(a_n)^2+(b_n)^2は初項1，公比1（公差0）の等比（等差）数列で

(a_n)^2+(b_n)^2=1

(2)(1)より

a_n=sinθ_n
b_n=cosθ_n

とおける．1/2=cosπ/3,√3/2=sinπ/3であることに注意すると漸化式は

sinθ_{n+1}=sinθ_ncosπ/3+cosθ_nsinπ/3
cosθ_{n+1}=cosθ_ncosπ/3-sinθ_nsinπ/3

加法定理よりこれは

sinθ_{n+1}=sin(θ_n+π/3)
cosθ_{n+1}=cos(θ_n+π/3)

となります．よって

θ_{n+1}=θ_n+π/3+2kπ

すなわち，

θ_{n+1}-θ_n=π/3+2kπ(kはnに無関係な任意の整数)

θ_1=π/3としてよいのでθ_nは初項π/3，公差π/3+2kπの等差数列

θ_n=π/3+(π/3+2kπ)(n-1)

=ｎπ/3+2k(n-1)π

したがって

a_n=sin(nπ/3)
b_n=cos(nπ/3)

となります．よって(n+3)π/3=nπ/3+πより

a_n=sin(nπ/3+π)=-sin(nπ/3)=-a_n
b_n=cos(nπ/3+π)=-cos(nπ/3)=-b_n

(3)(2)で求めました．

回答No.1

sunflower-san

漸化式より

a_(n+1)+t×b_(n+1)=((1-t√3)/2)a_n+((√3 +t)/2)b_n

(1-t√3)/2×t=(√3 +t)/2となるようなtを求めると、t^2+1=0 よりt=±i (虚数単位のi=√(-1))
よって

a_(n+1) +i b_(n+1)=(1-√(-3))/2 ×{a_n +i b_n}
a_(n+1) -i b_(n+1)=(1+√(-3))/2 ×{a_n -i b_n}

ここで(1±i√3)/2は1の6乗根になっていることに注意しましょう。(複素平面にρの位置をプロットしてみると分かりやすいです)
ρ=(1-i√3)/2 とおくと
ρ^3=-1,ρ^(-1)=ρ^5=-ρ^2=(1+i√3)/2などが成り立ちます。

a_n +i b_n= ρ×{a_(n-1) +i b_(n-1)}= ρ^2×{a_(n-2) +i b_(n-2)}=・・=ρ^(n-1)×{a_1+i b_1}

a_1+i b_1=(i+√(3))/2=iρより、a_n +i b_n=iρ^n
同様の計算によって(またはa_n +i b_nの式の複素共役をとって)
a_n -i b_n= -iρ^(-n)

これら二つの式より
a_n=Re(iρ^n)= -Im(ρ^n)
b_n=Im(iρ^n)= Re(ρ^n)

(1) (a_n)^2+(b_n)^2=(a_n+i b_n)(a_n-i b_n)=1

(2) a_(n+3)= -Im(ρ^(n+3))= -Im(-ρ^n)=Im(ρ^n)= -a_n
　同様に、b_(n+3)= -b_n

(3) ρ=(1-i√3)/2, ρ^2=(-1-i√3)/2, ρ^3=-1, ρ^4= -ρ=(-1+i√3)/2, ρ^5= -ρ^2= (1+i√3)/2, ρ^6=ρ^0=1
　以下この6パターンの繰り返しなので、まとめると、

　nが6で割って余り1のとき a_n= √3/2, b_n= 1/2
　nが6で割って余り2のとき a_n= √3/2, b_n= -1/2
　nが6で割って余り3のとき a_n= 0, b_n= -1
　nが6で割って余り4のとき a_n= -√3/2, b_n= -1/2
　nが6で割って余り5のとき a_n= -√3/2, b_n= 1/2
　nが6で割って余り0のとき a_n= 0, b_n= 1

あるいは三角関数を利用すれば、
　a_n=sin(nπ/3), b_n=cos(nπ/3) ともっと簡単な形にまとめられます。