大学数学について 現在大学院で数学科を専攻している

質問

大学数学について
現在大学院で数学科を専攻しているものです。
フェラリの解法で次の方程式を解いていただきたいです。
もちろん自分で解いたのですが、答えや式に自信がないので…

x^4+6x^2+36=60x
※途中の式も書いていただきたいです
よろしくお願いします

回答No.1

muturajcp

x^4+6x^2+36=60x……(1)
x^4=-6x^2+60x-36
両辺に(x^2)z+z^2/4を加えると
{x^2+(z/2)}^2=(z-6){x+30/(z-6)}^2-900/(z-6)+(z^2/4)-36
となる
-900/(z-6)+(z^2/4)-36=0
とすると
z^3-6z^2-144z-2736=0
となる
z=y+2
とすると
y^3-156y-3040=0……(2)
となる
y=u+v
とすると
u^3+v^3-3040+3(uv-52)(u+v)=0
となる
u^3+v^3=3040
uv=52
とすると
y=u+v
は(2)の根となる
(uv)^3=140608
だから
u^3,v^3は
t^2-3040t+140608=0
の2根となる
u^3=8(190+3√3767)
v^3=8(190-3√3767)
u=2(190+3√3767)^{1/3}
v=2(190-3√3767)^{1/3}
y=u+v
z=y+2=u+v+2≒20.01958246
{x^2+(z/2)}^2=(z-6)[x+{30/(z-6)}]^2
z>0だから
x^2+(z/2)={√(z-6)}[x+{30/(z-6)}]
x^2-{x√(z-6)}+(z/2)-{30/√(z-6)}=0
b=√(z-6)
D={30/√(z-6)}-{(z+6)/4}
とすると(1)方程式の2根は
x=b+√D≒3.099874424
x=b-√D≒0.644398864