この算数の問題がわかりません。お願いします

質問

１から１０００までの１０００個の整数が小さい順に並んでいる。
ある数から小さい順に２０個の整数を加えると 合計５６７０になる。ある数とはいくらか？

解答
５６７０×２÷２０＝５６７
ある数と２０番目の数を足すと５６７になるから、（５６７－１９）÷２＝２７４

なぜこうなるのか解説のはじめの式からわかりません。教えてください。

回答No.6

KEIS050162 · ベストアンサー

はじめから説明します。問題は＃２で解説した通り、簡単な数字の例に置き換えてあります。

問）　１から１００までの１００個の整数が小さい順に並んでいる。
　　　ある数から小さい順に６個の整数を加えると 合計３９になる。ある数とはいくらか？

○…○　　　　　　　　ある小さい数字
○…○●　　　　　　　２個目はある小さい数に１を足した数。
○…○●●　　　　　　…
○…○●●●　　　　　…
○…○●●●●　　　　…
○…○●●●●●　　　６個目に並んだ数字はある小さい数字より５多い

これを全部足すと３９になる。

台形の面積の求め方の”逆”を応用して、上底足す下底、即ち、ある小さい数と６個目の数を足した数を求める。下の様な図の考え方になる。

○…○　●●●●●○…○
○…○●　●●●●○…○
○…○●●　●●●○…○
○…○●●●　●●○…○
○…○●●●●　●○…○
○…○●●●●●　○…○
３９　×　２　÷　６　＝　１３

１３というのは、ある小さい数と６個目の数を足したもの、即ち下の○の個数となります。
○…○●●●●●　○…○

この１３からある小さい数と６個目の数の差の５を引きます。
１３－５＝８

○…○　　　　　○…○
残ったのは、ある小さい数が２個分なので、これを２で割ります。
８÷２＝４

○…○　⇒　○○○○
ある小さい数は４であることが分かりました。

実際の問題では数字が大きく、また個数も２０個と多いですが、差が１９になるだけで、考え方は同じです。

お礼

ありがとうございます

補足

返答ありがとうございます。
もう一つ質問なのですが6個目の数とありますが6個目以降の
数として捉えてもいいのでしょうか？
最初6個目の数とは○…○●●●●●　○…○の内の右は端の○…○だけの数だと思ってしまい勘違いしてしまいました。実際は黒の●も含んだ6個目の数字●●●●●　○…○だとおもうのですが、確認も含めてこれでいいんですよね？6個目の数字はわからないものだとして表現されてると思いますが迷ったので念のために質問しました。

回答No.7

KEIS050162

その理解でよいです。１～６個目の数字は、○…○と●を合わせた数です。

最初のある数が　○…○　　（のちにこれは４であることが分かります。

で、

６個目の数字が　○…○●●●●●　（のちに○…○の部分が４であることがわかるので、これに●を５個足して９であることが分かります。）

お礼

大変わかりやすかったです。
長々と最後まで質問に答えていただきありがとうございました。

回答No.5

KEIS050162

＃１です。
（ガウスって頭が良かったんですね…）

ところで、１３という数字は、全体の数×２÷６　から出した、上底＋下底即ち、先頭の数字と最後の数字の和になります。この時点では未だ先頭の数字も最後の数字もいくつかは分かりません。

一方、先頭から最後までは６個数字があったのですから、先頭の数字と最後の数字の差が５になります。

これを○で書いてみると、

○…○　先頭の数字
（この時点では何個か分からないので途中を…で記す）
○…○●●●●●　最後の数字（先頭より５だけ多い。これを●５個で記す）

これを全部合わせると１３になりますので、合わせてみます。まだ、…の部分は分かりません。
○…○○…○●●●●●

これから先頭と最後の数字の差の５（即ち●の部分）を引きます。残りは８個です。

○○○○○○○○　（この時点で８個と分かる）
こうすると先頭の数字が２個分が８となることが分かりますね？

なので、これを２で割ると先頭の数字になります。
○○○○

これを式で表したのが、
（１３－５）÷２＝４
です。

お礼

ありがとうございます

補足

８行目から
＞これを○で書いてみると、
○…○　先頭の数字
（この時点では何個か分からないので途中を…で記す）
○…○●●●●●　最後の数字（先頭より５だけ多い。これを●５個で記す）
これを全部合わせると１３になります

全部合わせると１３とありますが。黒い部分が差の５個分で
白い丸はわかっていない場合を説明されていますが４個分なので
横に並ぶのは９個ではありませんか？
丸を横に並べてるのは図で言うと初めの数の一列の部分で並べているのでしょうか？
それとも最後の数の一列の部分で並べているのでしょうか？
つまり白い丸は最後の数なのかそれとも最初の数なのでしょうか。最初の数ならば白い丸は４個、最初と最後の差５個分をたしても９個分しかならないです。

回答No.4

Dr-Field

No.1です。

やっと見つけました。
この問題を解くに当たって、ガウスという数学者が、小学生の時に似たような問題をあっという間に解いた逸話が参考になります。
その問題は、1+2+3+・・・+99+100＝？という問題です。
この逸話に関しては、こちらが一番詳しく書かれていたのでご覧下さい。
　　　↓
http://d.hatena.ne.jp/junhigh/20040718
ガウス少年は 1+2+3+・・・+99+100＝(1+100)×100÷2＝5,050 （×100÷2が×50に相当する）で解いたそうです。

今回の問題の解答は、それを全く逆に計算したことになります。

お礼

わざわざ答えていただきありがとうございました。

回答No.3

KEIS050162

＃２です。

台形の面積は、

面積　＝　（上底＋下底）　×　高さ　÷　２

です。

これは、台形を二つ互い違いにくっつけて、

○○○　　　○○○○○
○○○○　　　○○○○　　
○○○○○　　　○○○

長辺が　上底＋下底　、　短辺が　台形の高さ　の長方形の面積を求めて、それを２で割っている、
ということです。

なので、逆に、台形の面積が分かっている時は、台形の面積を２倍して、高さで割ると、長方形の長辺の長さが求められ、
これは、即ち、元の台形の上底と下底を足した長さが求められる、

ということですね。

実際に台形の図を書いてみると良く分かりますよ。

お礼

ありがとうございます

補足

＞先頭と最後の数字の差は、６－１＝５となりますので、上底＋下底からこの差の５を引いて、２で割れば上底、即ち先頭の数字が分かります。
（１３－５）÷２＝４

先頭と最後の数字の差というのは図で言うと先頭の列の丸がない空白の５の数字が書かれた範囲を示した部分でしょうか？
１３－５というのはどこを示した部分でしょうか？またそれをなぜ２で悪ると先頭の数字が出るのでしょうか？理屈がわかりません。上記の式です。よろしくお願いします。

回答No.2

KEIS050162

算数の問題、と書いてあるので小学生でも解ける方法で解説してみます。

簡単な例で考えてみます。

例えば、４，５，６，７，８，９　の４番目から９番目の例（図をみてください）

４番目から9番目までは、９－４＋１＝６個の数字が並びます。
これを全部足すということは、図の台形の面積を求めるのと同じことになりますので、
（４＋９）×６÷２＝３９　となります。　（４＋５＋６＋７＋８＋９＝３９）

これを逆に計算して、連続する６個の整数を足して３９になる場合、先頭の数字を求める計算方法を説明します。

面積がと高さに当たる部分の数字が分かっているので、面積×２÷高さで、上底＋下底がわかります。
上底と下底とは即ち先頭と最後の数字です。

先頭と最後の数字の差は、６－１＝５となりますので、上底＋下底からこの差の５を引いて、２で割れば上底、即ち先頭の数字が分かります。

３９×２÷６＝１３
（１３－５）÷２＝４

数字が大きくなっても、連続している整数なら、計算の方法は一緒です。

ご参考に。

お礼

ありがとうございますた

補足

面積×２÷高さという式はどのようにしてできたのでしょうか？
なぜ高さでわると底＋下底がでるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

Dr-Field

ある数をaとすると、aから20番目の数はa+19である。ここで、20番目だからa+20にならないことに注意。

ｘ群　ｙ群
a a+19　　→足すと2a+19
a+1 a+18　　→足すと2a+19
a+2 a+17　　→足すと2a+19
・　　・
・　　・
a+18　a+1　　 →足すと2a+19
a+19　a　　　 →足すと2a+19
－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　(2a+19)×20

ｘ群は小→大の順に足したもの、ｙ群は逆に大→小の順に足したもの。
ｘ群もｙ群も合計5,670になる。

5,670×2でｘ群+ｙ群の合計を求める。÷20で、(2a+19)に相当するものを求める。
2a+19＝567だから、a=274

以上を式だけにすると、解答になりますね。わかっていただけましたでしょうか？

お礼

ありがとうございました。