算数の問題がわかりません。

質問

100から２００までの整数のついて４でわると３あまる数はいくつか。

答え２５個

解説で４わると３あまるのは

１０３÷４＝２５・・・３の２５個

１９９÷４＝４９・・・３の４９個

４９－（２５ー１）＝２５個

このようになっていますがなぜ１０３から４で割っているのですか？同様に１９９÷４の方もです。
１０３までの数で４でわると３あまる個数を出しているのでしょうか？もしそうであるならば疑問に
思います。なぜならばたとえば「２０までの整数について４でわると３あまる数を求めよ」のとき
２０は４で割り切れてしまうので一つしたの３あまる数１９を４でわると
１９÷４＝４・・・３　よって４でわると３あまる個数は４個と出ます。実際数えてみると

３、７、１１、１５、１９の５個となり、数が合いません。
どういうことでしょうか？教えてくださいお願いします。

回答No.5

asuncion · ベストアンサー

＞２０までの整数で９で割って５余る数の個数を求める場合
＞２０÷９＝２個

割られる数を20にすると、これまでの議論と食い違ってしまうことに
気づいていただきたいなぁ、と思います。

お礼

やっと理解できました。ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

質問文中の解答には、やや難があります。貴方が言うとおり、
100 までの整数で 4 でわると 3 余るものは 25 個ではないし、
200 までの整数で 4 でわると 3 余るものは 49 個ではありません。
(199÷4を切り捨て)-(103を切り捨て)+1 = 25 とするよりは、
(199÷4を切り上げ)-(103を切り上げ)+1 = 25 とすべきだった
と思います。答えの値は、同じですけど。

あるいは、植木算に関するゴタゴタを避けて、
(199÷4を切り上げ)-(99÷4を切り上げ) = 25 の方が
更にスッキリしているかも知れません。
ここに現れた 99 は、100 未満で最大の「4 でわると 3 余る」数です。
1 から 200 までの整数で 4 でわると 3 余るもの個数から
1 から 100 未満の整数で 4 でわると 3 余るもの個数を引いた訳です。

A No.3 の論点については、199 や 99 を考えたように
区間の一端を「4 でわると 3 余る」数にしておくことで解決できます。
20 までの整数で 9 で割って 5 余る最大のものは 14 で、
14÷9 を切り上げると答は 2 です。

×○×××○×××○×××○×××○××
の左端の×と右端の×が、両方とも 20÷9 の余りに足し込まれる
ことから混乱が起こるので、右端を 14 にして
×○×××○×××○×××○×××○
の形にしてしまえば、それが避けられるのです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

asuncion

＞２０までの４で割り切れる数を求めよの時は
＞２０÷４＝５です

これは、
×××○×××○×××○×××○×××○
の○の個数を数えているからですね。

＞あまりが出るとなぜ個数に１加えないといけないんでしょうか？

例えば、20までの、4で割ると2あまる数の個数を数えるとします。
×○×××○×××○×××○×××○××
の○の個数を数えたいですね。
最小値は2、最大値は18です。この場合、木と木の間は
(18 - 2) ÷ 4 = 4で求まります。木の本数は4 + 1 = 5本です。

お礼

ありがとうございます

補足

追加で質問です。
２０までの整数で９で割って５余る数の個数を求める場合
２０÷９＝２個
植木算と同様に２＋１で３個になる。しかし
実際かぞえてみると
５　１４の２個しかありまえん。
そうなると植木算の考えは成り立たないのではないのでしょうか？

回答No.2

asuncion

植木算の例えを持ち出したついでに、もとの問題を植木算風にアレンジしてみましょうか。

スタート地点から103m～199mの地点に、
4mごとに木が植えてあります。全部で何本の木が植えてあるでしょうか。

(199 - 103) ÷ 4 + 1 = 25
という式でもいいですし、解説にあるとおり、

199 ÷ 4 = 49 ... 3
103 ÷ 4 = 25 ... 3
49 - 25 + 1 = 25
でもかまいません。

いずれにしても、+1を忘れると、片方の端しか数えていないことになります。
両方の端をもれなく数えるには、+1が必要です。

お礼

ありごとうございます

補足

追加で質問ですが
２０までの４で割り切れる数を求めよの時は
２０÷４＝５です

あまりが出るとなぜ個数に１加えないといけないんでしょうか？

余り２、３の場合もやはり個数に１加えるのでしょうか？植木残のように計算できますか？

回答No.1

asuncion

100から200までの整数で、4で割ると3あまる数の最大は199です。
同様に、100から200までの整数で、4で割ると3あまる数の最小は103です。
解説の式では、103～199の範囲で、4で割ると3あまる数が
いくつあるかを求めています。

＞２０までの整数について４でわると３あまる数を求めよ

最小は3、最大は19ですね。
3 ÷ 4 = 0 ... 3
19 ÷ 4 = 4 ... 3
4 - (0 - 1) = 5
5個ですね。

解説の
49 - (25 - 1)というのは、要するに49 - 25 + 1のことです。
植木算と同じで、両端を数え漏れしないようにするため、+1しています。

お礼

ありごとうございます