整数を作る場合の数の問題です

質問

ある予備校の入塾テストで出た問題なのですが、解答が貰えず復習に困っています。
教えていただけないでしょうか。

(1) 0から9の数字を1回ずつ使って4桁の整数を作るとき、どの桁の数字を2つ選んで足しても9にならないような数はいくつできるか。
(2) (1)の条件を満たす数を小さい順に並べたとき1000番目の数は何か。

よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> (1) 0から9の数字を1回ずつ使って4桁の整数を作るとき、どの桁の数字を2つ選んで足しても9にならないような数はいくつできるか。

樹形図の考え方で解いてみます。
実際に樹形図を描きながら読んでもらえると、理解しやすいかもしれません。

千の位に使える数は1～9の9通りです。

百の位に使える数は0～9のうち、以下の条件を満たすものです。
・千の位で使わなかったもの
・千の位の数と足して9にならないもの
よって百の位に使える数は8通りです。

十の位に使える数は0～9のうち、以下の条件を満たすものです。
・千の位で使わなかったもの
・千の位の数と足して9にならないもの
・百の位で使わなかったもの
・百の位の数と足して9にならないもの
よって十の位に使える数は6通りです。

一の位に使える数は0～9のうち、以下の条件を満たすものです。
・千の位で使わなかったもの
・千の位の数と足して9にならないもの
・百の位で使わなかったもの
・百の位の数と足して9にならないもの
・十の位で使わなかったもの
・十の位の数と足して9にならないもの
よって十の位に使える数は4通りです。

以上より、求める場合の数は9×8×6×4通りです。

(2)は辞書順に並べる問題と同じですね。
千の位が1の数は全部で8×6×4 = 192個あるので、
千の位が2の数も全部で192個(ここまでで合計384個)、
千の位が3の数も全部で192個(ここまでで合計576個)、
千の位が4の数も全部で192個(ここまでで合計768個)……
と数えていけば良いでしょう。

お礼

ありがとうございます。
丁寧に書いていただいて参考になりました。

回答No.1

rnakamra

ヒントだけを。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
足して"9"になる組み合わせは、
(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)
の5通りです。

どの二つの数字を選んでも足して"9"にならないようにするためには、
上記の5個の組から4組を選んで、4組の中の2つの数字から1つずつを取り出せばよいのです。
"0"が先頭にくるものを除けばよいのですが、"0"が先頭にくるものを含めたすべての並び方の通りの数を計算して、その数字を9/10倍したほうが早いと思います。

小さい順に並べる場合は、"1"が先頭に来るものの数をまず数えます。
"2"が先頭に来る物の数は同じ数になりますので、先頭の数が何であるのかは簡単にわかると思います。
後は前から二桁目(ここには"0"があってもよいので忘れないように)も同様にカウントすればよいのです。

お礼

ありがとうございます。
考え方は合っていたようで安心しました。