水中でのチェレンコフ効果のしきいエネルギーについて

質問

水(屈折率1.33)中でのチェレンコフ効果のしきいエネルギーは何keVか。という問題の解き方がわかりません。答えは257keVになります。
詳しい解き方を教えてください。よろしくお願いします!!

回答No.1

quadlike · ベストアンサー

チェレンコフ光の放射角は
　cosθ＝1/(nβ)，β＝c/v
で表されます．ここで，nは屈折率，cは光速，vは粒子の速度です．
cosθ≦1なので，チェレンコフ光が放射されるのは，速度が
　1/nβ≦1　∴β≧1/n　……(1)
を満たすときです．

また，エネルギーは特殊相対論で習ったように，
　E＝mγc^2，　γ＝1/√(1-β^2)　　……(2)
で表されます．ここで，mは粒子の質量です．

(1)，(2)より，エネルギーのしきい値 E_threshold は，
　E＝mγc^2
　 ＝(mc^2)*(1/√(1-β^2))
　 ≧(mc^2)*(n/√(n^2-1))
より，
　E_threshold＝(mc^2)*(n/√(n^2-1))　　……(3)
と求まります．

準備はこれで終わりです．

(3)式を，水中(屈折率 n＝1.3334)を粒子が高速で運動する状況に適用してみましょう．粒子として例えば，ミューニュートリノを考えてみます．ミューニュートリノの質量は，170KeV以下と制限が付けられています．そこで，粒子の質量として mc^2＝170KeV を用いてみると，(3)式よりエネルギーのしきい値は
　E_threshold
　＝(170)*(1.3334/√(1.3334^2-1)) KeV
　＝257.0 KeV
と求まります．

参考：
ミューニュートリノの質量について
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%8E

お礼

丁寧な解答ありがとうございます!!すごく助かりました!!