レンズの屈折

質問

空気中で薄い凸レンズに光軸に平行な光線を入射したときの光の進み方について考える。空気中では光線はレンズの焦点を通るが、同じレンズに対して水中では光線の進み方はどうなるか。ただし、レンズの屈折率>水の屈折率＞空気の屈折率とする。

という問題なんですが、答えの図は焦点よりも後ろの点（光軸上の点です）を通っていました。

解答には屈折の法則を使って解くと書いてあったのですが、レンズの屈折率を３、水の屈折率を２、空気の屈折率を１、入射角をθ(一定)、屈折角をφとして空気中と水中の場合で計算してみたんですが、計算間違いがなければどうしてもφは水中の場合の方が大きくなるんです。そうなると曲がり方が大きくなり、後ろどころかむしろ焦点よりも手前の点を通ると思うのですが...どこで考え方を誤ったのでしょうか？

あとこれは論理的ではないのであまり聞かないほうがいいのかもしれませんが、２つの物質間を光線が通るとき、その２つの物質の屈折率の差が大きいほど曲がりやすさ（屈折角）は大きいのでしょうか？そうだとすれば、感覚的にこの問題の答えは出ますが...
いずれにせよ前者の計算で解けなければ意味が無いので、前者について特にアドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#11476 · ベストアンサー

>どこで考え方を誤ったのでしょうか？
どこか計算を間違えているようですね。
それがどこかというのは、、、、導出過程がわからないとわかりません。正しく計算されていれば解答どおりになります。
基本的な考え方としては、スネルの法則で、

n1 × sin( x1 ) = n2 × sin ( x2 )

で、変形して、

sin( x2 ) = (n1 / n2 ) × sin( x1 )

になりますが、n1 = n2 では屈折しない、 n1 / n2 が大きくなると sin( x2 )は大きくなるから角度 x2 は大きくなります。（屈折が大きくなる）n1 / n2 が小さくなるとその逆です。

で、ここからが問題ですが、屈折角が大きくなるときに焦点距離が短くなるのか、長くなるのかはレンズ形状によります。たとえばレンズの入射側面は平面で出射側が凸面であれば、n1(ガラス) -> n2(空気又は水）ではn2の違いになるので、n2 が大きい－＞ n1/n2 は小さい－＞角度は小さくなる－＞焦点距離が長くなるとなります。

逆に入射側凸で出射側が平面としましょう。
n1 が水又は空気で、n2がレンズになります。
このとき n2 が大きい－＞n1/n2は大きい－＞屈折角は大きくなる－＞「焦点距離は長くなる」
です。先の場合と最後の結論が逆になるので注意してください。理由は作図してよく考えてください。
「屈折角は面の法線からの角度です」

>２つの物質間を光線が通るとき、その２つの物質の屈折率の差が大きいほど曲がりやすさ（屈折角）は大きいのでしょうか？
そうです。
スネルの法則の通りです。

お礼

ありがとうございます。ですが計算は合っていました。やはりφの方が大きくて間違いないです。問題は作図の点にありました。しっかり作図すると屈折角が大きい方が明らかに焦点距離は遠くなっていました。やはり作図はかかせないですね。
予備知識含めどうもありがとうございます！

回答No.2

Teleskope

（自分で作図し試行錯誤したが結果が合わないゆえの質問ですね、過去に類所の回答をしたのがあったので流用します。なお、手を加えたので変になってるかも知れません（その前歴何度もありです）変なところは追加質問してください。）

　全てはスネルの『屈折の式』
　　屈折率 n = sin(入る角度)/sin(出る角度)
の範疇の話ですが、教科書的レンズは sinθ≒θ を仮定します。以下すべてこの仮定が前提です。

１．
　試みたのは図のような作図だとします。　球面境界；左側に凸と右側に凸を描いて、光線の追跡を図的に試みた。

　　　境界面（左に凸の円だと思ってください、半径が r1 ）
　　　　n1　|　n2
　　　　 　　|　　　／
　　　　 　　|　 ／
　　 ＿＿　|／θ2
　　　.θ1/|　￣￣￣
　　　　 /　|
　　───────-────┼──── 光軸
　　　/　　 | ←球面の半径 r1─
　　/　　　｜
　/
　↑
　光線（どちら向きでも成立します）

　焦点距離の公式とかに依存しましたか？改めて言うまでもなく 屈折の式 は角度の関係式ですから 角度のまま追えば 素直に理解に至ります。
　図で光線が面を通過してる高さを y とします。円の中心角φとの関係は
　　tanφ= y/r
です。y の所の面は 垂直から右にφ傾いてるので「屈折の式」は
　　n1sin(θ1＋φ)=n2sin(θ2＋φ)
となります。これに近軸近似：sinθ≒θ、tanθ=sinθ/cosθ≒θ/1 をおこなうと
　　φ≒y/r1
　　n1(θ1＋φ)≒n2(θ2＋φ)
となり、通過後の角度は
　　n2θ2 = n1θ1＋y(n1-n2)/r1
これが目的の式です。

　角度がθ2に変わった光線が 次の面を通過する場合も、最初の図がそのまま使えて、
　　n3θ3 = n2θ2＋y(n2-n3)/r2
です。ただ番号を書き換えただけ。右辺第一項は 一つ前の項そのものだから代入できて、
　　n3θ3 = n1θ1+y(n1-n2)/r1+y(n2-n3)/r2
　　　　　 = n1θ1+y｛ (n1-n2)/r1+(n2-n3)/r2 ｝
以下同様です。何面あっても書けますよね。

　課題をやってみましょう。入射は平行光線 θ1=0 とします。

後ろが空気の場合 n1=1、n2=3、n3=1；
　　θ3 = y( -2/r1＋2/r2 )/n3
凸レンズは中央が脹らんでるので両凸でも老眼メガネでも式は全てマイナスになります。（確かめてください。）

後ろが水の場合 n1=1、n2=3、n3=2；
　　θ3 = y( -2/r1＋1/r2 )/n3
この場合も式は全てマイナスです。
で、疑問への答は、カッコ内の第二項の分子の係数が 水の方が小さい、そして /n3 の n3 が水の方が3倍大きい。⇒水の方の角度θ3が小さい ⇒ 焦点は遠くなる。
以上です。

>>　２つの物質間を光線が通るとき、その２つの物質の屈折率の差が大きいほど曲がりやすさ（屈折角）は大きいのでしょうか？ <<

　です。
　　透過角(n2θ2) = n1θ1+y(n1-n2)/r1 = 入射角＋曲げの角
ですから。差が大きいほど曲がりますね。ただし；差の正負と 面の正負の積で 収か散が定まります。また「屈折率の差がいくらあっても平面ガラスr=∞なら曲げの項はゼロ、つまり曲がらない」と。（トレビア： θと屈折率が積になってる意味は、「屈折の式」の成因が光の横方向運動量保存則であることが反映されてます。）

　余談；
入力値θとyは 一般には独立なので（大きさのある物体からの反射光が入射する場合を考えてください）、独立変数が二つの連立方程式です。面を次々通るのを行列の積で扱います。
　いわゆる 焦点距離の公式 は、最初に求めた式
　　n2θ2 = n1θ1＋y(n1-n2)/r1
から得られます。空気n1<ガラスn2 だからθ2はマイナス、つまり図で下に曲がります。軸と交わる距離を f とすれば、tan(θ2)=y/f を近軸近似してθ2=y/fから、f=y/θ2=r1n2/(n1-n2) と求まります。
同様に、２面通った式から いわゆる凸レンズの式が出ます。（参考までにn1=n3=1の場合はこんな式です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=992700&rev=1
これも過去の文章をコピペ手直ししたやつで、rなどの符合の説明が変になってます、今見直して反省しました。）

　今回は n1,n2,n3 異なるままの式が使えますが、少し詳しい本（潜水艦の潜望鏡や眼の結像）に載ってます。それを見つけてこいという課題なのかな？ｗ　もしこれから光学を学ぶ学生なら焦点距離の公式に依拠しないレポートがお薦め。