今年の灘中入試問題

質問

問題は能開センターのサイトに載せてあるのをお借りさせていただきます
http://nokai.jp/kinki/topics/data/nada_mondai.pdf
お聞きしたいのは[4][7][9][11][12][13]の問題です
他の問題は頭悪いながらなんとか力技で解きましたが
これらの問題がわかりません
ヒントでいいので教えていただけませんか
わかるキッカケがほしいです

回答No.7

sichtbare

１問残ったので解きました。

[11]MからBDに垂線を下ろし、その足をKとする。MKはACの半分で2.5cm
なので三角形MDKは正三角形の半分にしたもの。したがって角MDBは30度。
角ADCは75度なので、角ADMは７５度。
次にMからACに垂線を下ろしその足をL、MLとADの交点をQとする。
MLとBCは平行なので角MQDは角ADCに等しく、角MQDは75度。
よって三角形MQDは二等辺三角形。したがって
MQ=MD=5cm.QはADを二等分する点なのでBD=2MQ=10cm。

お礼

中点だという情報を上手く使えという問題なんですね
ありがとうございました

回答No.6

j-mini27

[9]の解き方です。
完全に力技なうえに、三平方の定理と平方根を使うので
中学入試でこんな解き方をしてよいか疑問ですが…。

まず、内側の四角形の面積を求めます。
　全体の面積　12×12＝144
　四隅の三角形の面積　4×8÷2=16
　　144-16×4=80

これだと内側の四角形の四隅の小さい三角形4つ分が余分です。

そこで、点Bを原点とした方程式を利用して、小さい三角形1個分の面積を求めます。
　小さい三角形は
　　Y=2X+4
　　Y=⁻2X+8
　　Y=⁻1/2X+4
　の3つの直線で囲まれた部分の面積と言えます。
　この3直線の交点は(0，4)(1，6)(8/3，8/3)となります。
　この交点間の距離を三平方の定理で求めて、1個当たりの三角形の面積は10/3となります。

あとは小さい四角形の面積から、小さい三角形4つ分の面積を引けば求める部分の面積が出せます。

お礼

この解きかたで納得できましたが
小学生が解くとしたら別の方法があるのかもしれませんね
ありがとうございました

回答No.5

j-mini27

No3です。

確かに四角錐ではないですね。
失礼しました。

一番長い高さの四角柱と考えて、それを半分にしたものと考えれば
正確でしょうか？

回答No.4

sichtbare

[7]A0B-AB=90*A,CACBC-10*A0B=10101*C、
この二つの数がいずれもABで割れる。すなわち
90*A=3^2*2*5*A---------(1)
10101*C=3*7*13*37*C-------(2)
が共通因数ABをもつ。
(2)式の因数に注目する。
ABは13,或いは37を因数に持つことはありえない。
なぜなら（１）もこれらの因数をもたなければ
ならないがAが一桁の整数なので。
またABは７の因数を持つことはありえない。
なぜなら（１）が７の因数をもつことはすなわち
A=7である。二桁の７の倍数で１０の位が７の数
は70,77しかなくこれらは題意をいずれも満たさない。
したがってAB＝3*Cであることがわかる。ABは２桁の整数なので
C=4,5,6・・・と代入して条件が成立するかたしかめる。
満たすのはC=6のときでA=1,B=8と求まる。

お礼

上2行が凄いです思いつけないです
無事理解することができました
ありがとうございました

回答No.3

j-mini27

[13]についてです。

　立方体なので、１辺の長さは全て等しい　→　Ｘcmとしておく
　傾きが固定されているので、
　　　図1の水が入っている高さをｔcmとすると、図2の水が入っていない部分の高さは2ｔcm
　　（言葉で説明しづらいですが真横から見て相似を利用すれば分かるかと思います。）
　図1の水が入っている部分の体積は水面の三角形を底面とした三角錐として計算可能
　図2の水が入っていない部分の体積は立方体の1つの面を底面とした四角錐で計算可能
　　あとは図2と図1の対比で全体に占める割合を計算できます。

補足

図2は四角すいではないと思うんです

回答No.2

j-mini27

[4]だけですが。
　「分母、分子が整数で、分母が100以下」で「0.5より大きく0.51より小さい」という条件から
　分母は奇数に限られます。
　　　理由　・分母が偶数の場合、その半分の数が存在する（つまり0.5となる組合せがある）
　　　　　　・分母の数は最大で100なので、上の組合せより分子を1大きくすると0.51以上になる。
　あとは、50÷99から順に49÷97、48÷95と地道に数えてもよいのですが…。
　分子を1、分母を2ずつ減らすと、解が少しずつ大きくなっていくため、50個全ては条件を満たしません。適当なところを選んで検算するしかないかなと思いますが……。

お礼

これも結構力技でとくものでした
ありがとうございました

回答No.1

sichtbare

[12]底辺が６の正方形、高さが３の直方体を考える。
上面の正方形の隣り合う辺の中点を結んでできる
正方形が問題の小さい正方形にあたる。上面の小さい
正方形の辺と下面の正方形の頂点を含む面で直方体の
上４隅を切り落としたものが求める体積。

お礼

たしかにこうなってますね
思いつければ簡単でした
ありがとうございました