行列の対角化の問題です。

質問

見にくくて恐縮です。画像も参照してください。
　2次正方行列 A の対角化が
　　┌　　┐
　　│x　0│
　　│0　y│
　　└　　┘
のとき det(A) を求める。
　　　 ┌　　 ┐　　　　　　　　 1　┌　　 ┐
　　P =│a　 b│　　P^(-1) =　────│ d -b│
　　　 │c　 d│　　　　　　　ad - bc │-c　a│
　　　 └　　 ┘,　　　　　　　　　 └　　 ┘.
　　　　　　　┌　　┐
　　P^(-1)AP =│x　0│
　　　　　　　│0　y│
　　　　　　　└　　┘.
　　PP(^-1)AP = AP
　　　┌　　 ┐┌　　┐ ┌　　　┐
　　 =│a　 b││x　0│=│ax　by│
　　　│c　 d││0　y│ │cx　dy│
　　　└　　 ┘└　　┘ └　　　┘.
　　A = APP^(-1)
　　　　　1　┌　　　┐┌　　 ┐
　　 = ────│ax　by││ d -b│
　　　 ad - bc │cx　dy││-c　a│
　　　　　　 └　　　┘└　　 ┘
　　　　1　　┌　　　　　　　　 ┐
　　 = ────│adx-bcy　-abx+aby│
　　　 ad - bc │cdx-cdy　-bcx+ady│
　　　　　　 └　　　　　　　　 ┘
　ここまで合ってるでしょうか？
　合っていても
　　det(A) = 1/(ad-bc)( (adx-bcy)(-bcx+ady) - (-abx+aby)(cdx-cdy) )
を計算するのはメンドイです。行列式ならもっとうまい方法で求められるのでしょうか？

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

一般的にX, Yが共に2次正方行列だったとき、 det(XY) = det(X) * det(Y) が成り立つことを知っていれば、なんの問題もないはずですが...
もう一言言っておくと、P(P^{-1}) = Eで、det(E) = 1ですね。

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。