3×3行列の対角化

質問

A={{-1,2,2},{2,-1,2},{2,2,-1}}
を対角化する行列P
を求めて、P^(-1)AP を計算して対角化して下さい。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

質問者さんの行列の書き方をするとして

A={{-1,2,2},{2,-1,2},{2,2,-1}}
I={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}}
固有多項式f(t)=det(tI-A)=(t-3)(t+3)^2
固有値は、固有方程式f(t)=0より　t=3,-3(2重解)
t=3のとき
　(3I-A){{x},{y],{z]}={{4,-2,-2},{-2,4,-2},{-2,-2,4}}{{x},{y},{z}}
　　={{4x-2y-2z},{-2x+4y-2z},{-2x-2y+4z}}
　　={{0},{0},{0}}

　4x-2y-2z=0,-2x+4y-2z=0,-2x-2y+4z=0
　独立な式は２つ。
　2x-y-z=0,x-2y+z=0
　{{x},{y},{z}}=c1*{{1},{1},{1}}
　固有ベクトル:v1={{1},{1},{1}}

t=-3のとき
　(-3I-A){{x},{y],{z]}={{-2,-2,-2},{-2,-2,-2},{-2,-2,-2}}{{x},{y},{z}}
　　={{-2x-2y-2z},{-2x-2y-2z},{-2x-2y-2z}}
　　={{0},{0},{0}}

　-2x-2y-2z=0,-2x-2y-2z=0,-2x-2y-2z=0
　独立な式は１つ。
　x+y+z=0
　{{x},{y},{z}}={{c1},{c2},{-c1-c2}}=c1{{1},{0},{-1}}+c2{{0},{1},{-1}}
　固有ベクトル:v2={{1},{0},{-1}},v3={{0},{1},{-1}}

以上の固有ベクトルから、対角化行列Pは
　P={v1,v2,v3}={{1,1,0},{1,0,1},{1,-1,-1}}
が得られる。

あとはPの逆行列P^-1を計算して
　P^-1AP
を求めるだけ。

計算すると
　P^-1AP={{3,0,0},{0,-3,0},{0,0,-3}}
が求まります。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

ga2z

Ａの固有値をもとめる→P^(-1)AP を固有値表現する。
ででると思います