三角形

質問

面積がSである三角形ABCの辺AB、BC、CA上(両端を除く)に、それぞれ点P、Q、Rを取ってAP/AB + BQ/BC + CR/CA = 1 を満たしながらP、Q、Rを各辺上で動かすとき、△APR/△ABC = AP/AB * (1-CR/CA)となるらしいのですがこれは何故ですか？

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞面積がSである三角形ABCの辺AB、BC、CA上(両端を除く)に、それぞれ点P、Q、Rを取って
＞AP/AB + BQ/BC + CR/CA = 1 を満たしながらP、Q、Rを各辺上で動かすとき、
＞△APR/△ABC = AP/AB * (1-CR/CA)となるらしいのですがこれは何故ですか？

図をかいて、BとRを結ぶ。

△ABRと△ABCで、Bを頂点とみると高さが同じだから、面積比＝底辺の比になるから、
△ABR：△ABC＝RA：CAより、△ABR＝(RA/RC)△ABC　……(*)
△APRと△ABRで、Rを頂点とみると高さが同じだから、同様に
△APR：△ABR＝AP：ABより、△APR＝(AP/AB)△ANR
(*)より、△APR＝(AP/AB)・(RA/CA)△ABC　だから、
よって、
△APR/△ABC＝(AP/AB)・(RA/CA)
＝(AP/AB)・{(CA－CR)/CA}
＝(AP/AB)・{1－(CR/CA)}

AP/AB + BQ/BC + CR/CA = 1 の条件は、
それぞれの比が1を超えないという意味だと思いました。
だから、
三角形ABCの辺AB、BC、CA上(両端を除く)に、それぞれ点P、Q、Rが取れる。

お礼

ようやく分かりました
ありがとうございました！

回答No.3

ferien

ANo.2です。　訂正と補足があります。

＞AP/AB + BQ/BC + CR/CA = 1 の条件は、
＞ それぞれの比が1を超えないという意味だと思いました。
＞ だから、
＞ 三角形ABCの辺AB、BC、CA上(両端を除く)に、それぞれ点P、Q、Rが取れる。
は、取り消しでお願いします。

三角形ABCの辺AB、BC、CA上(両端を除く)に、それぞれ点P、Q、Rを取るから、
それぞれの比は、０より大きく１より小さい。
0＜AP/AB＜1，0＜BQ/BC＜1，0＜CR/CA＜1
だから、
△APR/△ABC = AP/AB * (1-CR/CA)　が導けます。
条件AP/AB + BQ/BC + CR/CA = 1は、特に必要ないと思います。
実際、使いませんでした。
この問題に続きがあるとしたら、そのとき使うのではないでしょうか？

お礼

分かりました
最後までありがとうございました

回答No.1

USB99

底辺をＡＢにとると
△ＡＢＣにくらべ、
底辺がＡＰ／ＡＢに
高さがＡＲ／ＡＣになるから。

補足

底辺がＡＰ／ＡＢに、高さがＡＲ／ＡＣになると何故△APR/△ABC = AP/AB * (1-CR/CA)となるのですか？