弦の微小振動

質問

線密度ρが一様な弦の微小振動(横振動)を考えるとき, 弦の微小部分に対する運動方程式を考えて線形の波動方程式を導きます. その際, 振動は微小だから弦の微小部分の長さΔxは変わらないと仮定して微小部分の質量をρΔxとおきます. ところが, 弦の位置エネルギーを考えるときはその微小部分のわずかな伸びを考慮します. 両者は一見矛盾するように思えますが, どう解釈すればよいのでしょうか ?

回答No.2

onakyuu · ベストアンサー

おそくなりましたが、再度補足をいたします。
非線形項を無視できるかできないかは変位が十分
小さいといえるかによっています。
（弦の横ずれ）／（弦の長さ）＜＜１
弦の伸びは、弦の横のずれの２乗に比例するので
線形近似では無視しています。弦は伸びないけれど
仕事をしているわけで、これは剛体同士がぶつかっ
て形を変えないけれども互いに力が働くようなもん
です。あるいは非圧縮流体でも力が伝播して流れが
起きる近似と似ているかもしれません。

あらかじめ横ずれがどれくらいになるかわかりませ
んので、その意味では波動方程式が正しい根拠は無
いです。実際、弦の振動で非線形効果によるソリト
ンが一般的に見られるようです。

お礼

ご回答頂きましてありがとうございました. 勉強不足で非線形効果によるソリトンについては知りませんでした. お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした.

補足

非線形効果によるソリトンに関する文献をご存知であれば教えて頂きたいと思います. 宜しくお願い致します.

回答No.1

onakyuu

弦の横方向の微小変位をｙ(x,t)とすると波動方程式
はｙの２次以上の項を無視した線形近似として与えら
れます。弦の伸びによるρの変化は(∂y/∂x)^2に
なるので無視しているわけです。弦に加わる力は、
∂^2y/∂x^2に比例するので残るわけです。

しかし、memorytermさんのおっしゃるようにこの近似
には多少問題があります。ｙが小さいからといって
∂y/∂xも小さいとは限らないからです。
それを確認するには得られた線形波動方程式
∂^2y/∂t^2 = a ∂^2y/∂x^2 (aは比例定数）
を解いてみるとよいでしょう。
境界条件によって解は変わりますが固有振動の重ね合
わせになるわけです。ところが振動数の大きい固有振
動は∂y/∂xも大きくなってしまい近似が破綻してい
ることになります。

すなわち変位ｙが微小というだけでなく振動数も小さ
い（波がなめらか）という条件が必要になるわけです。

補足

ご回答頂きましてありがとうございました. おっしゃるように線形近似をする立場からは理解できますが, 振動の過程で弦の微小な伸びを無視してよいなら張力は仕事をしないはずなので変だと思ったわけです. Newtonの運動法則によって張力が原因で加速度が生じるけれども, 弦の微小部分の質量変化は無視してよいということなのでしょうか ?