10人を5、3、2人に分ける方法は何通りかあるか

質問

場合の数の問題
「10人を5、3、2人に分ける方法は何通りかあるか」

10人をそれぞれの人数で分けるパターンを出して、それらのパターンを足せば答えだと考えたのですが、正解ではありませんでした。
10Ｃ５＋１０Ｃ３＋１０Ｃ２＝437パターン←×

正解を教えていただきたいのと、この問題における考え方をご教授いただければと思います。
よろしくお願いします。

回答No.3

htms42 · ベストアンサー

「和」ではなくて「積」になります。
まず１０人から５人を選び出しています。これが１０Ｃ５です。
次は残った５人の中から３人を選び出さないといけないはずです。
そうすると残りの２人は自動的に決まります。
残りの５人から３人を選ぶのは５Ｃ３です。
自動的に決まる２人のところは２Ｃ２です。
１０人から５人を選び出した一つ一つの場合について残りの選びからが決まりますから組み合わせの数は掛け算になります。
あなたの書いた１０Ｃ３は一度選んだ５人を元に戻して１０人にしています。
元に戻してはいけないのです。
（あなたの式は１０人から５人を選ぶ、１０人から３人を選ぶ、１０人から２人を選ぶという場合の数の足し算になっていますからいつも１０人を２つのグループに分けています。したがって１０人を２つのグループに分けたとき、グループの人数が５人、または３人、または２人になる場合の数はいくらになるかという問題の答えだということです。１０Ｃ２＋１０Ｃ４であれば１０人を２つのグループに分けたときグループの人数が偶数になる分け方はいくらあるかという問題の答えです。）

１０人ではなくてもっと少ない数でいろいろ場合を考えてやってみると検算になります。
ＡＢＣＤＥの５つを３個と２個の２つのグループに分けるというのはどうでしょう。
５つから２つを選べば自動的に残りの３つは決まります。５Ｃ２です。
あなたのやり方だと５Ｃ２＋５Ｃ３になってしまいますね。
でもそうではなくて５Ｃ２×３Ｃ３なのです。
３つのグループに分けるのであればＡＢＣＤＥＦの６つの場合がいいかもしれません。
とにかく１０人は多すぎます。紙に書き下して確かめるということをはじめからあきらめてしまいます。

足し算は「または」の関係の時に出てきます。「ｏｒ」の関係の時と言っても同じです。「ａｎｄ」の関係の時は掛け算になります。

お礼

ありがとうございます。パターンの和ではなく積だったのですね。検算も用いて類題で練習したいと思います！

回答No.2

B-juggler

答えが出ているから、考え方だけ。

１０人の中から５人を選んでグループを作る。
こうした後に、そのグループから３人のグループに入る人がいてはいけない。

こういうのを注意すればダイジョウブです。

例）ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ　の１０人とします。

５人：ＡＢＣＤＥ　とやると
３人グループには　ＡＢＣＤＥ　は入らないね？
おなじく、２人グループにも入らないね？

いっぺんにやろうとしないこと！　飴の分け方もそうだけど、１つづつね。

いい？　大事なことだよ？　ゆっくりでいいからしっかり分かるまで！

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます！考え方が参考になりました。類題練習の際にこの考え方を応用したいと思います。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

5,3,2人のグループを A, B, C とすると
まずAを選び次にBを選ぶとしても問題の一般性は
失われない。
またC は A, B が決まると決まってしまうので
AとBの選び方だけを考えればよい。

Aの選び方は 10C5　通り。

Aを選んだ後での B の選び方は　5C3　通り

従ってAとBの選び方は 10C5 x 5C3 = 2520
これが答えです。

お礼

ありがとうございます。参考になりました！