カタランの予想が証明出来ました。
ａとｂを自然数、ｘとｙを2以上の自然数とする時、ａ[のｙ乗]－ｂ[のｘ乗]＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｙ＝2、ｘ＝3に限る、即ち3[の2乗]－2[の3乗]＝1しかないとするのが、カタランの予想です。（便宜上ａのｘ乗をａ[のｘ乗]と表します）
ａ[のｙ乗]－ｂ[のｘ乗]＝1を、(1)ａ[のｙ乗]－1＝ｂ[のｘ乗]と変形します。ａ[のｙ乗]とｂ[のｘ乗]を因数分解すると、双方素数の掛算になります。ａ[のｙ乗]とｂ[のｘ乗]の差が1なので、片方は偶数で他方は奇数です。素数の内、偶数は2のみです。因数分解した素数の掛算の中に、2が１つでもあると全体は偶数となります。従って、片方のみ2を必ず含みます。他方は2以外の素数（奇数）の掛算となります。
ではまず、ａ及びｂが素数の場合を検証します。
ｂ＝2の場合(1)式は
ａ[のｙ乗]－1＝（ａ[のｙ／2乗]+1）×（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2[のｘ乗]となります。
2つの数字を掛けて2の累乗になるのは、双方が2の累乗の時だけです。従って、
（ａ[のｙ／2乗]+1）＝2[のｍ乗]、（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2[のｎ乗]、ｍ+ｎ＝ｘです。
ある数に1を足しても、それから1を引いても2の累乗になります。2の累乗の中で差が2なのは、2と4のみです。従って、
（ａ[のｙ／2乗]+1）＝2[のｍ乗]＝4、ｍ＝2、ａ[のｙ／2乗]＝4－1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2[のｎ乗]＝2、ｎ＝1、ａ[のｙ／2乗]＝2+1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
ｍ＝2、ｎ＝1なのでｘ＝3です。この場合、解は3[の2乗] －1＝2[の3乗]しかありません。
次にａ＝2の場合(1)式は
(2)2[のｙ乗]－1＝（2[のｙ／2乗]+1）×（2[のｙ／2乗]－1）＝ｂ[のｘ乗] となります。
2つの数字を掛けてｂの累乗になるのは、双方がｂの累乗の時だけです。ある数に1を足しても、それから1を引いてもｂの累乗となります。2以外の素数の累乗の中で差が2なのは、3[の1乗]＝3と3[の0乗]＝1のみです。従ってｂ＝3です。
（2[のｙ／2乗]+1）＝3、2[のｙ／2乗]＝3－1＝2＝2[の1乗]、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
（2[のｙ／2乗]－1）＝1、2[のｙ／2乗]＝1+1＝2＝2[の1乗]、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。(2)は、2[の2乗]－1＝4－1＝3[の1乗]となり、ｘ＝1となります。(2)は、2[の2乗]－1＝3[の1乗]ですが、ｘ＜＞1であるので、この場合解はありません。
次に、ａ及びｂが複数の素数の掛算からなる場合です。ａ[のｙ乗]とｂ[のｘ乗]は、偶数と奇数なので、ａ又はｂどちらか一方にのみ2を含みます。
まず、ｂが2を含む場合(1)式は
ａ[のｙ乗]－1＝（ａ[のｙ／2乗]+1）×（ａ[のｙ／2乗]－1）＝（2×ｃ）[のｘ乗] となります。
2つの数字を掛けて（2×ｃ）の累乗になるのは、双方が（2×ｃ）の累乗の時だけです。（2×ｃ）の累乗の中で差が2なのは、ｃ＝1の時で、4と2のみです。従って、
（ａ[のｙ／2乗]+1）＝4、ａ[のｙ／2乗]＝4－1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝2、ｙ＝2です。
（ａ[のｙ／2乗]－1）＝2、ａ[のｙ／2乗]＝2+1＝3＝3[の1乗]、ａ＝3、ｙ／2＝2、ｙ＝2です。
この場合も、解は3[の2乗] －1＝9－1＝8＝2[の3乗]となります。
次に、ａが2を含む場合(1)式は
(3)（2×ｄ）[のｙ乗]－1＝（（2×ｄ）[のｙ／2乗]+1）×（（2×ｄ）[のｙ／2乗]－1）＝ｂ[のｘ乗]
2つの数字を掛けてｂの累乗になるのは、双方がｂの累乗の時だけです。ある数に1を足しても、それから1を引いてもｂの累乗となります。2を含まない素数の掛算の累乗の中で差が2なのは、3[の1乗]＝3と3[の0乗]＝1のみです。従ってｂ＝3です。
（（2×ｄ）[のｙ／2乗]+1）＝3、（2×ｄ）[のｙ／2乗]＝3－1＝2＝2[の1乗]、ｄ＝1、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。
（（2×ｄ）[のｙ／2乗]－1）＝1、（2×ｄ）[のｙ／2乗]＝1+1＝2＝2[の1乗]、ｙ／2＝1、ｙ＝2です。(3)は、2[の2乗]－1＝4－1＝3[の1乗]となり、ｘ＝1となります。(2)は、2[の2乗]－1＝3[の1乗]ですが、ｘ＜＞1であるので、この場合解はありません。
従って、ａ[のｙ乗]－ｂ[のｘ乗]＝1の解は、ａ＝3、ｂ＝2、ｙ＝2、ｘ＝3、即ち3[の2乗]－2[の3乗]＝1に限る。
お礼
迅速な回答をありがとうございました。 なるほど！です。