区間推定に使うt値

質問

ある母集団から10個の標本を抜取って、
標本の平均μと不偏分散σ^2、標本標準偏差σ/√10を求めました。
次に母集団の平均の区間推定を行います。
99%の信頼度で区間推定した場合、ある参考書に、
区間＝ μ ± t × σ/√10
と記されていました。
このtという値は信頼度とサンプル数（自由度）によって変化するとのことなので、
t分布表から選択して計算するようにと書いてあります。

自分は
エクセルのNorminv(0.005,μ,σ/√10)～Norminv(0.995,μ,σ/√10)
を使って求めたほうが簡単なので、こちらを使用するのですが、
上の参考書の値と異なってしまいます。
エクセルのNorminv関数にはなにか欠点があるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
データ添付します。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

平均値の不偏分散Un^2はしょせんは推定値なので、母分散には一致するとは限りません。
なので、不偏分散Un^2を使って正規分布を仮定して信頼区間を求めてもそれは概算値ではありますが、正しい範囲にはなりません。

t値(Xn-μ)/(Un/√n)を使ってt分布から信頼区間を求めると、XnとUn^2のの両方のばらつきを考慮したうえで信頼区間を求めることになるので、より正しい範囲になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど・・・概算値ということですね。
t値はTINVで簡単に求められそうだし、
より正確に範囲が求められるのであれば、
そちらを使うべきですね。
よく分かりました。

ちなみにEXCELのNORMINV関数は、
常に概算値しか求められないということでしょうか？
t分布を使って求める信頼区間と一致することはないのでしょうか？

回答No.1

hitokotonusi

n個のデータの平均値Xnは正規分布に従ってばらつきますが、
不偏分散Unも推定値なのでやはりばらつきます。
このため、真の平均値をμとすると、両方がばらつくため

t=(Xn-μ)/(Un/√n)

という量は正規分布には従いません。したがって、この場合にはNorminvは使いません。

データ数がnのときt値が従う分布は自由度n-1のt分布ですから、
正規分布の値ではなく自由度n-1のt分布の値を使う必要があります。
t分布は正規分布同様、左右対称な釣鐘型の分布なので、自由度がn-1で両側１％(０．０１)のときのt値をt分布表から読んだ値をt(n-1,0.01)とすると区間は

(Xn-μ)/(Un/√n)＝±t(n-1,0.01)

なので、母平均μの９９％の推定区間として

Xn-t(n-1,0.01)×(Un/√n)　＜　μ　＜　Xn＋t(n-1,0.01)×(Un/√n)

が得られます。

t分布　http://ja.wikipedia.org/wiki/T%E5%88%86%E5%B8%83
t分布表　http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/td.htm

データ数が１０だとすると自由度は９なので上の表から

t(9,0.01)＝3.2498

です。

エクセルを使う場合はTINVという関数がたぶんあるので、これを使ってください。
(手元のPCにはOOo Calcしか入ってないのでエクセルでは確認していません。)

お礼

ご回答ありがとうございます。
ただ、NORMINVで区間推定をしてはいけない理由がいまいち分かりませんでした。

tの値が正規分布しないで、t分布するということは分かりましたが、
tの値をNORMINV関数で求めようとしたのではなくて、
求めたいのは99%で母平均が含まれる区間ですから、
NORMINV関数を使えば、求められるはずだと思ったのですが、
いかがでしょうか？