正八面体の中になる最大の正四面体

質問

とあるサイト、

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/724_p14.htm

に、「正八面体のひとつの面が正四面体の面と一致し，残りの頂点が正八面体の面の接触するとき，正八面体に内接する最大の正四面体が得られます．このとき，体積比は

　　√２／１２・３／√２＝１／４＝0.25

になります．」

とあります。

感覚的にはそうかな、と思うのですが、どのように証明するのでしょうか。
何か載っている本がありましたら教えてください。

回答No.2

da61

ちょうど、数学セミナーの2013/1のエレガントな解答を求めるページで出題されているので、2013/4にエレガントな証明が載りそうですね。正八面体の平行な面の間隔と正四面体の高さが同じなので正四面体の1辺以上が正八面体に接している場合についてはこれ以上のは無いでしょう。頂点と頂点が一致して、２つ目の頂点が正八面体の辺の上にあり、残りの２頂点が面上にある場合については計算しないといけない気がしますが、そこをエレガントに済ます方法があるのでしょう。

回答No.1

f272

正四面体の体積が√2/12
正八面体の体積が√2/3
ということ。

お礼

書き方がまずくすみません。

分からないのは、「正八面体のひとつの面が正四面体の面と一致し，残りの頂点が正八面体の面の接触するとき，正八面体に内接する最大の正四面体が得られます」の部分です。

よろしくお願いします。