ゲーム理論の問題です。わかりません。

質問

平面上の点(1,0)に住民Ａが、(2，1)に住民Ｂが、(0，1)に住民Ｃがそれぞれ住んでおり、彼らは図書館の位置を次のようなルールで決める。まず、Ａが図書館の位置(x,y)を提案する。次にＢが、Ａの提案を見た後で修正案(c,d)を提案する（これは、Ａの提案と同じでもよい）。最後に、Ｃが原案(x,y)と修正案(c,d)のうち好きなほうを選び、Ｃが選択した案が図書館の位置となる。各人は、なるべく自分の近いところに図書館が建って欲しいと思っている。

(１) Ａが(x、y)=(1,0)を提案した後のサブゲームで選ばれる図書館の位置を、サブゲーム完全均衡を使って求めよ。
(２) サブゲーム完全均衡で決まる図書館の位置を計算せよ。

どうしてその解が得られたのかという簡単な過程があればなおありがたいです。自分は独学でゲームを学んでいるのですが、見たことのない問題でいまいちピンときません。

分かる方は是非ご教授よろしくお願いします。

回答No.1

noname#166207 · ベストアンサー

雑ですが、行間は自分で埋めてください。

(1) Cにとっての(1,0)を通る無差別曲線は中心(0,1)、半径√2の円。
よってCが無差別な場合にB案を選ぶようなサブゲーム完全な結果は、図書館が(√2,1)に建つこと。
Cが無差別な場合にA案を選ぶとすると、Bにとって最適な提案は存在しない（なぜか?考えてみてください）。
よって上記が唯一。

(2) Cの(x,y)を通る無差別曲線は中心(0,1)で(x,y)を通る円K。
よってCが無差別な場合にB案を選ぶとすると、Bは円Kと線分Lの交点を提案する。
ただしLは(0,1)と(2,1)を結ぶ線分。
よってAは線分Lと自分の無差別曲線が接する点(1,1)を提案する。
Cが無差別な場合にA案を選ぶとすると、Bにとって最適な提案は存在しない。
よってサブゲーム完全な図書館の位置は(1,1)。

（Cが無差別な場合にコインを投げて決めても、おそらく議論に変わりはない。）

お礼

すごいです。自分ではそのような解法は全然思い浮かびませんでした。
いただいた解答を参考にして自分でもう一度考え直してみます。

解答いただきありがとうございました。