初期条件を代入すると分母が0になる初期値問題

質問

2階線形常微分方程式
(x^2 y')' = -x^2
を解くと、両辺を x で積分して
x^2 y' = -x^3/3 + C
両辺を x^2 で割って
y' = -x/3 + C/x^2 ... (b)
両辺を x で積分して
y = -x^2/6 - C/x + D ... (a)
となります。

ここで初期条件 y(0) = 1, y'(0) = 0 だと
y = -x^2/6 + 1
になるらしいのですが、(a) で y(0) = 1 とおいて D について解こうと思っても、
y(0) = -C/0 + D = 1
と分母が0になってしまい計算できません。

(b)
y' = -x/3 + C/x^2
の場合も同様で、
y'(0) = C/0 = 0
となってしまいます。

このような場合はどうやって積分定数 C, D を求めればよいのでしょうか？
解き方が間違っていますか？
ご教示ください。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

x^2 y' = -x^3/3 + C
にx=0を代入すると
0^2 *1 = -0^3/3 + C
となってC=0
つまり
y = -x^2/6 + D ... (a)
これにx=0を代入すると
1 = -0^2/6 + D ... (a)
でD=1

お礼

ありがとうございます。