証明

質問

x≧0のときlog(1+x)≦xの証明をお願いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

f(x)＝log(1+x)，g(x)＝xとします。

　f(0)＝log(1)＝0，g(0)＝0なので、f(0)＝g(0)。

　f’(x)＝1/(1+x)，g’(x)＝1なので、x≧0のとき明らかにf’(x)≦g’(x)で、f’(x)＝g’(x)は、x＝0のみ。

　故に、x≧0では常にlog(1+x)≦xで、等号はx＝0の時のみ。

　以上の論法は、平均値の定理の系である、次の定理の結果です。

　　定義域[a，b]で、f(a)＝g(a)かつ、x≠aならf’(x)＜g’(x)であれば、任意のx∈(a，b]でf(x)＜g(x)．

　上記定理を証明抜きで使って良いかどうかは、あなたが相手にしている状況によります（大抵は、使って良いはずですが）。

お礼

素早い回答ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

log(1+x)≦x
log(1+x)≦log(e^x)
logy (y>0)は単調増加関数であるから、
1+x≦e^x
を調べた方が簡単。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

ferien

＞x≧0のときlog(1+x)≦xの証明をお願いします。

f(x)＝log(x+1)－xとおくと、
f'(x)＝{1/(x+1)}－1＝{1－(x+1)}/(x+1)＝－x/(x+1)
x≧0より、－x≦0，x+1＞0だから、f'(x)≦0
よって、f(x)は、x≧0のとき単調減少するから、f(x)≦f(0)

f(0)＝log1－0＝0だから、
f(x)≦0より、log(x+1)－x≦0
よって、x≧0のとき、log(1+x)≦x

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

ereserve67

関数

f(x)=x-log(1+x)

を定義します．この関数の定義域はlogの真数が正より

x>-1

さて，x≧0のとき

f'(x)=1-1/(1+x)={(1+x)-1}/(1+x)=x/(1+x)≧0（等号成立はx=0の時に限る）

よってx≧0においてf(x)は単調に増加する：

f(x)≧f(0)=0-log1=0(x≧0)

これは

x≧0のときlog(1+x)≦x

を意味します．

お礼

ありがとうございました。