早めにお願いしますm(__)m

質問

解き方がわかりません。

・関数ｆ(x)がｆ(x)=3x＋∫0～1(x＋t)ｆ(t)dtという関係を満たすとき、ｆ(x)を求めよ

・→ →
ａ=(1,1,1)、ｂ=(2,1,0)とするとき、→ →
ａ、ｂの両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

の2つの解説をわかるかたお願いします。
m(__)m

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

＃１です。一箇所訂正があります。

＞このベクトルとベクトルa,ベクトルbは垂直なので内積がゼロという性質を使うと、
＞2x+2y+2z=0　　←ココ！
＞2x+y=0

(x,y,z)と(1,1,1)の内積がゼロですから、
1*x+1*y+1*z=0よりx+y+z=0になります。

＃１の最後の計算結果に影響はありません。

すみません。以上のように訂正します。

回答No.1

suko22

f(x)=3x+∫[0,1](x+t)f(t)dt
2項目を展開します。
=3x+x∫[0,1](t)dt+∫[0,1]tf(t)dt

∫[0,1]t(t)dtと∫[0,1]tf(t)dtは定数になるから、それぞれ
a=∫[0,1]t(t)dt
b=∫[0,1]tf(t)dt
と置いてもとのf(x)の式に戻すと、
f(x)=3x+ax+b
となります。

これをa=,b=の式に入れて、
a=∫[0,1](3t+at+b)dt
b=∫[0,1]t(3t+at+b)dt
右辺を定積分して式を整理すると、
a-2b=3
2a-3b=-6
となり、この連立方程式を解くと、
a=-21,b=-12

よってf(x)=3x-21x-12=-18x-12

---------------
垂直なベクトルを(x,y,z)と置くと、
このベクトルとベクトルa,ベクトルbは垂直なので内積がゼロという性質を使うと、
2x+2y+2z=0
2x+y=0

この2式から、y=-2x,z=xとなり、
(x,y,z)=(x,-2x,x)//(1,-2,1)

(1,-2,1)の大きさは√6であるから、求める単位ベクトルは1/√6(1,-2,1)=(1/√6,-2/√6,1/√6）

計算は自分で確認してください。

お礼

ありがとうございました。
計算確認します。
m(__)m