あと少しなのですが・・・

質問

３つのベクトルu,v,wを三辺とする平行６面体の体積は
±u・v×w　　（・は内積、×は外積です。）
であることを示せ。

この問題なのですが、Ｖ＝Ｓ×ｈとしたとき
Ｓ＝∥ｖ・ｗ∥、ｈ＝∥ｕ∥ｃｏｓΘ
までは分かっています。
これを使ってどうすれば上のことを示せるのですか？

回答No.1

uranasu · ベストアンサー

＞この問題なのですが、Ｖ＝Ｓ×ｈとしたとき
＞Ｓ＝∥ｖ・ｗ∥、ｈ＝∥ｕ∥ｃｏｓΘ
＞までは分かっています。

Ｓ＝∥ｖ×ｗ∥、ｈ＝∥ｕ∥sinΘ
です。
ｖとｗのなす角度をφとするとき
外積の大きさは ∥ｖ×ｗ∥＝∥ｖ∥×∥ｗ∥×ｓｉｎφ
外積のベクトルはｖに垂直で、かつ、ｗに垂直なベクトルとなる。すなわち、ｖとｗで作る平面に垂直となるベクトルである。

ベクトルｕと（ｖとｗで作る平面）の角度をθとする
ｕと（ｖ×ｗ）の角度は９０度－θ又は９０度＋θとなる。
角度が９０ーθのときの体積は以下である。
体積＝∥S∥×∥ｕ∥ｓｉｎ（９０－Θ）＝
　　＝∥Ｓ∥×∥ｕ∥ｃｏｓθ
　　＝（ｖ×ｗ）・ｕ
となる。

角度が９０＋θのときの体積は以下である。
体積＝S×∥ｕ∥ｓｉｎ（９０＋Θ）＝
　　＝Ｓ×∥ｕ∥（－ｃｏｓθ）
　　＝－（ｖ×ｗ）・ｕ
となる。

体積は±（ｖ×ｗ）・ｕ　となる。

補足

±u・v×w　　（・は内積、×は外積です。）
であることを示さなくてはならないのですが、
示すことと±（ｖ×ｗ）・ｕは違うものですよね？

回答No.2

cirrhata

示すべき±u・v×wは、＃１さんの回答にある±（ｖ×ｗ）・ｕという意味ですよ。
±ｖ×(ｗ・ｕ)のようにしてしまうと、(ｗ・ｕ)はスカラー量(単なる数)ですから、そのあとのｖとの外積を計算できないと思います。先に（ｖ×ｗ）を計算して、出てきたベクトルとuとの内積をとりましょう。
内積は、a・ｂ＝ｂ・aです。