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内積と外積の商や次元についての質問
- 質問内容：外積の商が定義されない理由とは？また、内積と外積が定義される次元についても教えてください。
- 外積の商は定義されない理由は、ベクトルaとベクトルbが既知でもベクトルxが一意に定まらないためです。
- 内積と外積は、最低でも2次元以上のn次元で定義されるものと認識されます。
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「向きと大きさを持つ」によってベクトルを定義するためには、 「向き」がベクトルより先に定義できていなければなりませんが、 その参考書や物理の教科書は、そうなっているのでしょうか？ ちょっと想像がつかない世界です。 まず線型空間を定義して、「ベクトル」とは線型空間の元を指すとし、 その上で「ベクトルは向きと大きさを持つ」と言えば 「ベクトルの向き」を定義する言葉と理解するのが、普通かと思います。 同様に、「スカラー」とは、線型空間の基礎体の元を指すとします。 この定義によれば、例えば、ベクトルの各成分の和は、 基底が異なれば異なる値をとりますが、 基礎体の元を値に持ちますから、スカラーではあります。 一次元ベクトルについては、一般に「体」は、その体自身を基礎体として 一次元線型空間になりますが、その体上の線型空間が集合として 体と同一であるとは限りません。その意味で、 一次元ベクトルとスカラーを「同じ」ではなく「同型」と言ったのですが…
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- alice_44
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座標変換で値が変わる/変わらないによる区別は 物理学に独特のもので、数学でいうスカラーや ベクトルの定義とは、関係がありません。 別の概念を、同じ言葉で呼んでいるんですよ。 ベクトルの定義は、線型代数の入門書の 最初のほうの章に出ていますから、 図書館か書店で確認してみてください。
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞座標変換で値が変わる/変わらないによる区別は ＞物理学に独特のもので、数学でいうスカラーや ＞ベクトルの定義とは、関係がありません。 知りませんでした。ありがとうございます。 手元にある参考書で定義を確認しました。 ベクトルとは、ベクトル空間の元であるということですね。 しかし高校の数学の参考書には、「向きと大きさの2つをもつ量」 と書いてあります。 この「向きと大きさの2つをもつ量」というのが物理学で使われている 定義なのでしょうか？ 混乱しますね・・・ ＞1 次元ベクトルとスカラーが同型であること に注意しましょう。 ベクトル空間の元であるベクトルの数が次元を決めると認識 しています。 例えば、 2つの実数の組(x，y)の集合はスカラーを実数として， 2次元のベクトル空間となる。これは2次元ベクトルですよね？ 1次元ベクトルは（x）です。 つまり1次元ベクトルはスカラーということですね。 物理学では、1次元ベクトルはスカラーでは ないと言うことでしょうか？ 外積についてですが、3次元でのみ定義されるということで 理解しました。 外積とベクトル積は厳密には意味がことなるものなのですね。 ベクトル積は3次元でのみ定義されるようです。 http://okwave.jp/qa/q193082_2.html#answer 私には難しくて、全ては理解できませんでした・・・ また、興味本位ですが、外積（外積代数）は 1次元などn次元で定義されるのでしょうか？ 以上、申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致しますm（_ _）m
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
除法が不可能なことについては、その理解でよいと思います。 成分計算をしなくても、任意のベクトル →a について (→a)×(→a)=(→0) ですから、与えられた →a, →b に対して (→a)×(→v)=(→b) となる →v がひとつ存在したとすれば、 任意のスカラー s について (→a)×{(→v)+s(→a)}=(→0) となってしまい、商はひとつに定まらない…と言えます。 内積と外積が定義される次元について： 内積は、1 次元でも定義できて、単なるスカラーの積になります。 1 次元ベクトルとスカラーが同型であること に注意しましょう。 外積は、3 次元でのみ定義され、それより低次にも高次にも ありません。普通の外積の他に、もっと一般的な「外積」という 概念もあり、一般のベクトル空間上で定義されるのですが、 それは、3 次元のいわゆる外積とは、また別のものです。 単語が同じなので、ややこしいですが。
補足
いつもご回答ありがとうございます。 内積はn次元で定義可能ということですね。 ＞1 次元ベクトルとスカラーが同型であること に注意しましょう。 一次元ベクトルとスカラーが同型とはどういうことでしょうか？ ベクトルとスカラーは根本的に違うもので、 ベクトルは「座標変換によって値が変わる」 スカラーは「座標変換しても値が変わらない」 よって、ベクトルとスカラーは根本的に性質のことなるものと 認識しています。 一次元だとベクトルはスカラーと同じになるということでしょうか？ 一次元ベクトルの内積とは具体的にどのように計算されるのでしょうか？ 例えば一次元ベクトル（1）と（2）の内積は、 （1）・（2）=2 というような感じでしょうか？ 外積についてですが、3次元で定義されるものなのですね。 知恵袋にも同様の質問がありました。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q141637634 こちらで回答されているものは、alice_44さんが仰っている一般的な 外積に相当するものでしょうか？ ネットで調べた限りでは、 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0 の事でしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
お礼
いつもご回答ありがとうございます。 理解できました。