法線ベクトルについて

質問

Ω⊂R^2を有界領域とします。
このとき
「境界∂Ωが滑らかであると仮定すると、x∈∂Ωにおける
外向き単位法線ベクトルV(x)はxの滑らかな関数である」
これは何故成り立つのでしょうか？
どなたか解説または証明をお願い致します。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>外向き単位法線ベクトル
とはどのように定義される？

>境界∂Ωが滑らかである
とはどのように定義される？

この二点が明確になってる？

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たとえば R^2 で考えて
x^2+y^2 <= 1
は境界がなめらかで，法線ベクトルもなめらか．
なぜなら，境界の方程式って微分できるし

補足

有界領域Ω⊂R^2の境界∂Ωが滑らか
⇔
任意のx*∈∂Ωに対してその近傍Vを小さく取れば、ある関数f(x)∈C^m(V)があって、Vのなかでの∂Ωは
f(x)=0 （ただし、Σ(i=1~2)| ∂f(x)/∂xi | ≠0　、x∈V)
で表されることを言う

これは合っていますでしょうか？