単位円

質問

数学の休日課題でわからない問題があります。回答、よろしくお願いします。

0°≦θ≦180°とする。次の等式を満たすθの値を、単位円をかいて求めよ。
（1）sinθ=√3/2
（2）cosθ=1/√2
（3）tanθ=-1/√3

回答No.4

suko22 · ベストアンサー

単位円周上で三角比を定義すると、
sinθ＝ｙ（ｙ座標に等しい）
cosθ＝ｘ（ｘ座標に等しい）
tanθ＝ｙ/ｘ
となります。sin,cosは分母が1となり扱いやすくなります。

(1)単位円を書いて、次に直線ｙ＝√3/2を書きます。交点ができます。動径がきまります。
　その角度を読み取ってください。→特殊角の辺の比になっていることから角度が決まります。

(2)ｘ＝1/√2の直線を引きます。あとは(1)と同じです。

(3)tanθ＝ｙ/ｘから、ｙ＝tanθ*ｘ
　原点を通る直線の傾きがtanθの値になります。

　単位円を絡めて考えると、まずｘ＝1という直線を引いてください。
　ｘ＝1とすると、tanθ＝ｙとなります。すなわちｘ＝1上におけるｙの値がtanθとなります。
　だからtanθ＝-1/√3＝ｙより、ｘ＝1上にｙ＝-1/√3となる点をとります。そして原点を通る直線を　引きます。そうすうると単位円との交点ができ、動径が決まり、θが決まります。

問題を解くときはできるだけ正確な図を書いてください。
そうすると、図から特殊角（30°60°90°または45°45°90°）の直角三角形を思い起こせて、それらから角度を求めることができます。

たとえば(1)ならｙ＝√3/2≒0.66のようにして、1に近いな？図を見て60°かな、辺の比を確認、60°と確定、のように。図から(1)は2つあり、もうひとつは120°ですね。

tanはちょっと考え方が難しいですね。この問題なら単位円をわざわざ使わなくてもぜんぜんできます。むしろ使わないほうが簡単かも。でも、これは数I→数II→・・・と勉強が進んでいくとのちのち重要な概念であることがわかります。単位円の使い方の練習と思ってよく考えてみてください。

回答No.3

ImprezaSTi

(3)ですが、マイナス(-)は一先ず置くと、30度・60度の直角三角形で求まります。

で、あとはマイナスの処理ですが、マイナス＝Ｘ座標もしくはY座標のいずれか一方がマイナスであれば良いので、それで検討すれば分かると思います。
→そう考えると、角度が９０度を超えるとtanの値はマイナスになるので・・・・・・・　あとは、自分で考えてください。

回答No.2

ImprezaSTi

前に続いて、もう一つヒントを。

sin,cos,tanは分かりますか？　あと、三角形で、45度や30度/60度は、長さの比が簡単なのを知っていれば、求まります。

お礼

すみません。補足にかいた（2）の解答が間違っています。（2）はθ=135°です。

補足

回答、ありがとうございます。（1）～（3）を自力で考えて、（1）はθ=60°,
120°(2)はθ=45°とでてきました。しかし、（3）の解法が分かりません。回答、お願いします。

回答No.1

ImprezaSTi

多分、貴方は学生だと思われます。で、一から全てを聞くのは、何にもなりませんので、少しは考えて、その結果を書いてください。

　単位円は分かりますか？　中心をＸ－Ｙ軸の原点にとって、単位円だから半径１の円を書いてください。
　その中に原点を頂点にした三角形をいろいろ書いていけば、各θは求まります。

　→で、どこまでやって分からないのか、一から聞くのでは無く、整理してから質問してください。