基礎力不足でしょうか？

質問

スタ演の問題です。
αとβは０でない複素数で、自然数nに対してf(n)=1/α^n+1/β^n+1
とする。F(n)=2f(n+3)-f(n+2)-f(n)を求めよ。ただしf(1)=1/2, f(2)=1/4,とする。

α＋β＝ー１、αβ＝２、f(3)=13/8は求まって、α、βはx^2-x+2=0の解であることは分かったので、
1/α^n＋1/β^nはα^n+β^n/(αβ)^nとかα^3=-（α+2）、α^2=α-2みたいな調子で
F(n)をまとめて計算していくと、｛(-2α-4)α^n+(-2β-4)β^n｝/2^nとなって詰まりました。
さんざん考えても分からず、答えを見ると、
式変形は(2-α-α^3)/α^n+(2-β-β^3)/β^n+３というようにαとβをそれぞれまとめてました。
確かにこれなら2-α-α^3はきれいに０になります。

これが思い浮かばないのは基礎力不足（この問題集をやっていくべきでない）でしょうか？

回答No.2

kbjsh17 · ベストアンサー

スタ演が何なのかも知らずに回答しますが・・・
たんなる計算間違いではありませんか？

＞α、βはx^2-x+2=0の解である
x^2+x+2=0の解ですね

＞1/α^n＋1/β^nはα^n+β^n/(αβ)^n
（α^n+β^n）/(αβ)^n　と書いてください。

＞α^3=-（α+2）、α^2=α-2
一番上の間違いを直すとα^3=-α+2、α^2=-α-2となるはずです。

以上を使えばどう変形していっても最終的には０になることに気づくと思うのですが。

計算するときに途中式を丁寧に書いていますか？
求まった重要な関係式がどれであるか一目でわかるように書いていますか？

所詮単なる計算問題のはずなのに詰まったときは（できれば詰まっていなくてもこまめに）求めた関係式を活用してきちんと検算してください。
たとえばα^2+β^2=-(3/4)(α^2)(β^2)=-3が割とはじめのほうでわかっているはずなので
α^2=α-2という式が間違っていることが代入すればすぐわかるはずです。

演習問題の解答が自分のものと異なる場合は自分の解答と徹底的に比較すべきです。そうすれば自分で間違いに気づけるはずです。仮に単純な間違いではなく本質的に自分には思いつかないような解答だった場合は、その解答の意図、思想を理解してください。なぜそのような方法で解こうとするのかを理解すれば、確実に自分の力になるでしょう。

そのような意図がまったく汲み取れないならその問題集はあまり合わないのだと思います。

余談ですが、対称式はα+β,αβの二つが求まれば必ず値が計算できますので、｛(-2α-4)α^n+(-2β-4)β^n｝/2^nの値も本当は計算できるんですけどね。。。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

数学の大問って、小問で解けた事を使って次の問題を解いていくのです。
その問題に限らないが、いくつかやってみて同様の事例が頻発すれば、
やっぱり基本からの理解をやり直すしかないでしょう。

ところで、問題集に依存していませんか？　寧ろ、それが気になります。